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CONTACT DES CERCLES

tions (3), (4), (5), (6), (8), l’équation résultante, en $x,y,z$ sera celle du second lieu demandé.

Mais on sait qu’une ligne donnée par l’intersection de deux surfaces est aussi sur toute surface dont l’équation serait une combinaison des équations de ces deux-là ; d’où il suit que, dans l’élimination, nous pouvons nous aider de l’équation (7) pour simplifier nos résultats. Nous ne ferons ainsi que substituer au lieu cherché quelque autre lieu plus simple, coupant le cône ensuivant la même droite.

À l’aide de cette attention, l’élimination devient très-facile. On tire des équations (3), (6), (8), en ayant égard à l’équation (7),

${\begin{aligned}A=&{\frac {x\operatorname {Cos} .r''\operatorname {Sin} .(R+r'')}{z\operatorname {Sin} .r''}},\\B=&{\frac {y\operatorname {Cos} .r''\operatorname {Sin} .(R+r'')}{z\operatorname {Sin} .r''}},\\C=&{\frac {z\operatorname {Sin} .r''\operatorname {Cos} .(R+r'')}{z\operatorname {Sin} .r''}},\\\end{aligned}}$

ces valeurs étant substituées dans les équations (4) et (5), elles deviendront

$(ax+by)\operatorname {Cos} .r''\operatorname {Sin} .(R+r'')+cz\operatorname {Sin} .r''\operatorname {Cos} .(R+r'')$

$=z\operatorname {Sin} .r''\operatorname {Cos} .(R+r),$

$(a'x+b'y)\operatorname {Cos} .r''\operatorname {Sin} .(R+r'')+c'z\operatorname {Sin} .r''\operatorname {Cos} .(R+r'')$

$=z\operatorname {Sin} .r''\operatorname {Cos} .(R+r'),$

Mais on peut remarquer que

$\operatorname {Cos} .(R+r)=\operatorname {Cos} .\left\{(R+r'')-(r''-r)\right\}$

$=\operatorname {Cos} .(r''-r)\operatorname {Cos} .(R+r'')+\operatorname {Sin} .(r''-r)\operatorname {Sin} .(R+r''),$

$\operatorname {Cos} .(R+r')=\operatorname {Cos} .\left\{(R+r'')-(r''-r')\right\}$

$=\operatorname {Cos} .(r''-r')\operatorname {Cos} .(R+r'')+\operatorname {Sin} .(r''-r')\operatorname {Sin} .(R+r'').$

on aura donc, en substituant et divisant par $\operatorname {Cos} .(R+r'')\,;$

$\left\{(ax+by)\operatorname {Cos} .r''-z\operatorname {Sin} .r''\operatorname {Sin} .(r''-r)\right\}\operatorname {Tang} .(R+r'')$

$+z\operatorname {Sin} .r''\left\{c-\operatorname {Cos} .(r''-r)\right\}=0,$

$\left\{(a'x+b'y)\operatorname {Cos} .r''-z\operatorname {Sin} .r''\operatorname {Sin} .(r''-r')\right\}\operatorname {Tang} .(R+r'')$

$+z\operatorname {Sin} .r''\left\{c'-\operatorname {Cos} .(r''-r')\right\}=0\,;$