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SUR LA SPHÈRE.

qui, appliquée ensuite à la recherche du cercle qui en touche trois autres sur une sphère, revient a celle qui a été enseignée plus haut.

Celle-ci se trouve mêrne établie par ce qui précède, puisqu’un plan n’est autre chose qu’une sphère dont le rayon est infini.

${\begin{aligned}A=&{\frac {(\operatorname {Sin} .r-c\operatorname {Sin} .r'')y+bz\operatorname {Sin} .r''}{ay-bx}},\\B=&-{\frac {(\operatorname {Sin} .r-c\operatorname {Sin} .r'')x+az\operatorname {Sin} .r''}{ay-bx}}.\\C=&\operatorname {Sin} .r''\,;\\\end{aligned}}$

valeurs qui substituées dans l’équation (13) donnent

$\left\{(\operatorname {Sin} .r-c\operatorname {Sin} .r'')y+bz\operatorname {Sin} .r''\right\}^{2}+\left\{(\operatorname {Sin} .r-c\operatorname {Sin} .r'')x+az\operatorname {Sin} .r''\right\}^{2}$
$=(ay-bx)^{2}\operatorname {Cos} .^{2}r''\,;$

telle est donc l’équation d’une surface dont les intersections avec le cône $\mathrm {C''}$ détermineront ses lignes de contact avec les deux plans qui touchent à la fois extérieurement les cônes $\mathrm {C'}$ et $\mathrm {C} .$

Or en développant celle équation, la multipliant par $\operatorname {Cos} .^{2}r'',$ et ayant égard à la relation (1), elle peut être mise sous cette forme

$\left\{(ax+by)\operatorname {Cos} .^{2}r''-z(c\operatorname {Sin} .r''-\operatorname {Sin} .r)\operatorname {Sin} .r''\right\}^{2}$
$=\left\{(c-\operatorname {Sin} .r''\operatorname {Sin} .r)^{2}-\operatorname {Cos} .^{2}r''\operatorname {Cos} .^{2}r\right\}\left\{z^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\operatorname {Cos} .^{2}r''\right\}\,;$

or en la combinant avec celle de $\mathrm {C''}$ qui est

$\mathrm {z} ^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\operatorname {Cos} .^{2}r''\,;$

elle se réduit simplement à

$(ax+by)\operatorname {Cos} .^{2}r''=z(c\operatorname {Sin} .r''-\operatorname {Sin} .r)\operatorname {Sin} .r'',$

qui n’est, en effet, autre chose que la première des équations (10).