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COURBURE
Soit présentement
une longueur constante arbitraire quelconque, et concevons que, sur la tangente dont l’équation est
![{\displaystyle Y=X\operatorname {Tang} .\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984c8b4697abebf81f0dd449aac769d589468434)
on porte, à partir de l’origine, une longueur égale à
; on déterminera ainsi sur le plan des
un certain point dont la situation variera avec l’angle
; voyons donc à quelle courbe ce point appartient.
Nommons
les coordonnées de ce point variable ; nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {y}{x}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d20e831e9734846e68529d432b4ea6e54c24d871)
et
![{\displaystyle \qquad x^{2}+y^{2}=CR\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c901925784af77b0ab4c7657f93219ee98dc661)
subtituant ces valeurs dans l’équation (32), elle deviendra
![{\displaystyle rx^{2}+ty^{2}=C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29689d3e50b97a3d928c88413150a72e32f7c0c)
ou, en mettant pour
et
leurs valeurs, données par les équations (33), et divisant ensuite par ![{\displaystyle C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64528f031cdbe1f52bdaf4ba7a8401108c0d2dc2)
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{CA}}+{\frac {y^{2}}{CB}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10cda192205b156391a4ac06cd660944dbbcb7af)
posant donc
![{\displaystyle {\sqrt {CA}}=a,\qquad {\sqrt {CB}}=b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e36c64a12fa3c35d1dba77e6132949bf62322fd)
on aura finalement
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e04cef1c6af3e391a7fe772f38ce56bd0a71cc5)
ou
![{\displaystyle b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fba9cb30fdadd8217a870e814464178d893283b)
(34)
équation d’une ellipse ou d’une hyperbole, suivant que
et
sont de mêmes signes ou de signes contraires. C’est cette courbe que M. Dupin appelle l’Indicatrice.
Si, dans l’équation (18), on met pour
et
leurs valeurs données par les équations (33), elle deviendra
![{\displaystyle B+A\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52b1789c55bda5ad03ef4cb176cee60502dc26c)
ou, en multipliant par
et substituant