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COURBURE

Soit présentement $C$ une longueur constante arbitraire quelconque, et concevons que, sur la tangente dont l’équation est

$Y=X\operatorname {Tang} .\alpha$

on porte, à partir de l’origine, une longueur égale à ${\sqrt {CR}}$ ; on déterminera ainsi sur le plan des $XY$ un certain point dont la situation variera avec l’angle $\alpha$ ; voyons donc à quelle courbe ce point appartient.

Nommons $x,y$ les coordonnées de ce point variable ; nous aurons

$\operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {y}{x}}\qquad$et$\qquad x^{2}+y^{2}=CR\,;$

subtituant ces valeurs dans l’équation (32), elle deviendra

$rx^{2}+ty^{2}=C,$

ou, en mettant pour $r$ et $t$ leurs valeurs, données par les équations (33), et divisant ensuite par $C,$

${\frac {x^{2}}{CA}}+{\frac {y^{2}}{CB}}=1\,;$

posant donc

${\sqrt {CA}}=a,\qquad {\sqrt {CB}}=b,$

on aura finalement

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$

ou

$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2},\qquad$(34)

équation d’une ellipse ou d’une hyperbole, suivant que $A$ et $B$ sont de mêmes signes ou de signes contraires. C’est cette courbe que M. Dupin appelle l’Indicatrice.

Si, dans l’équation (18), on met pour $r$ et $t$ leurs valeurs données par les équations (33), elle deviendra

$B+A\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta =0,$

ou, en multipliant par $C$ et substituant