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DES COURBES.

étudient sur la voie des recherches de cette nature, qu’on leur montrât bien que, toutes les fois qu’on élimine $x$ et $y$ entre trois équations telles que

${\begin{aligned}\mathrm {F} (x,y)&=0,\\\phi (x,y,t,u)&=0,\\\psi (x,y,t,u)&=0,\\\end{aligned}}$

on fait une véritable transformation de coordonnées, quelle que soit d’ailleurs la forme des fonctions $\phi$ et $\psi ,$ et qu’on les exerçât assez sur cette matière pour les mettre en état de découvrir la transformation analitique qui répond à une transformation géométrique donnée, et vice versa, du moins lorsque ces transformations ne sont pas très-compliquées^[1]. En particulier, on pourrait, relativement aux lignes du second ordre, demander de rapporter ces courbes, soit à deux points fixes, soit à un point et à une droite fixes, tels que, $t$ et $u$ représentant les deux coordonnées, l’équation prît la forme $t\pm u=Const.,$ ou cette autre $t=u.$ Cette manière de chercher les foyers me semblerait, à la fois, plus naturelle et plus analitique qu’aucun des procédés employés jusqu’ici à leur détermination ; et elle pourrait, en outre, conduire à la découverte de quelques points remarquables, dans les courbes des degrés supérieurs.

Mais, soit qu’on rapporte une courbe à deux droites, ou à une

1. Ce serait une question assez intéressante, mais qui ne paraît pas facile à traiter généralement, que celle de savoir quelle devrait être la forme de deux fonctions $\phi$ et $\psi$, pour qu’en éliminant $x$ et $y$ entre l’équation donnée
   $\mathrm {F} (x,y)=0,$

   et les deux équations

   $\phi (x,y,t,u)=0,\qquad \psi (x,y,t,u)=0,$

   l’équation résultante fût une équation donnée

   $\Phi (t,u)=0.$