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ÉQUATIONS ABSOLUES


droite et à un point, ou à deux points, ou enfin à tout autre système de données invariables ; toujours la forme de son équation dépendra de sa situation par rapport à ces données ; toujours cette équation renfermera des arbitraires, exprimées ou sous-entendues ; en un mot, elle n’exprimera point, si je puis m’exprimer ainsi, la nature intrinsèque de la courbe, indépendamment de sa situation, et de toutes données extérieures et immobiles.

Cette observation, faite depuis long-temps, a conduit divers géomètres à rechercher quel serait le système de coordonnées le plus propre à rendre l’expression analitique d’une courbe indépendante de tout terme de comparaison, de toute convention étrangère à la nature de cette courbe. M. Lacroix a proposé l’équation entre le rayon de courbure et l’arc correspondant, compté depuis un certain point de la courbe[1] : et ce moyen serait, en effet, très-propre à rendre l’équation d’une courbe indépendante de sa situation dans l’espace ; mais M. Lacroix remarque lui-même que, dans ce système, le point de départ des arcs serait nécessairement arbitraire. À la vérité, on pourrait choisir celui pour lequel le rayon de courbure est le plus petit ; mais, outre qu’il est un grand nombre de courbes dont la courbure est la même en divers points, l’usage d’un tel système de coordonnées, supposant la courbe déjà tracée, en son entier, ne pourrait conséquemment servir à sa description. On peut remarquer encore que, dans ce système, les courbes rectifiables exceptées, les équations de toutes les autres courbes seraient inévitablement différentielles.

M. Carnot qui, dans un ouvrage très-remarquable, a présenté sur la transformation des coordonnées, des réflexions du plus grand intérêt[2], a proposé, pour exprimer analitiquement la nature d’une courbe, le moyen que voici : Si, par l’un quelconque des points

  1. Voyez son Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, tome I, page 418 de la première édition, et page 484 de la seconde.
  2. Géométrie de position, page 473.