qui s’est aussi occupé de la même question, a proposé, pour la
résoudre, l’usage des Paraboles osculatrices ; c’est-à-dire, que,
pour un point pris arbitrairement sur une courbe donnée, il cherche
quelle devrait être la parabole qui aurait avec cette courbe, en ce
point, un contact du troisième ordre, et qu’il prend, pour équation
de la courbe proposée, l’équation entre les coordonnées ordinaires de
cette parabole. On ne peut disconvenir que, déterminé à exprimer
toutes les courbes par leur relation avec une même courbe, choisie
arbitrairement, M. Ampère ne pouvait faire un choix préférable à
celui de la parabole ; mais, enfin, ce choix a toujours quelque chose
d’arbitraire ; il exige, en outre, la considération de deux courbes
au lieu d’une seule ; et la méthode qui en résulte, moins simple
que celle de M. Carnot, ne paraît pas, plus qu’elle, propre à fournir
une construction.
Il y a fort long-temps que j’ai conçu l’idée d’un mode d’expression absolue des courbes qui, d’une première vue, m’a semblé devoir offrir quelques avantages sur tous ceux que je viens de rappeler ; mais diverses distractions m’avaient toujours détourné jusqu’ici de le soumettre à l’épreuve du calcul, et à présent même je ne puis qu’en donner une simple esquisse. C’est, au surplus, tout ce qu’on peut raisonnablement désirer de rencontrer dans un recueil du genre de celui-ci, destiné plutôt à mettre sur la voie, des méthodes qu’à en offrir de longs développemens.
Une courbe étant donnée, et un point étant pris arbitrairement sur son périmètre ; elle a nécessairement, en ce point, un certain rayon de courbure dont la grandeur et la direction sont déterminées, tant par la nature de la courbe que par la situation, sur son périmètre, du point particulier que l’on considère. L'extrémité de ce rayon est un point de la développée, lié essentiellement au point pris sur la courbe, et variant avec lui. Or, comme, lorsqu’une courbe est donnée, sa développée est aussi donnée, non seulement d’espèce, mais encore de situation par rapport à elle ;
