il s’ensuit que le rayon de courbure de cette développée, en chacun
de ses points, doit aussi être donné de grandeur et de situation. Donc,
en particulier, le rayon de courbure de la développée, qui
répond à l’extrémité du rayon de courbure de la courbe primitive, et qui est perpendiculaire à ce dernier, doit être lié avec
lui par une relation qui, étant indépendante de tout objet fixe
étranger à la courbe que l’on considère, et par conséquent à la
situation de cette courbe dans l’espace, ne doit renfermer, outre
les deux rayons que les élémens nécessaires à la détermination absolue de cette même courbe.
C’est l’équation de relation entre ces deux rayons que j’ai d’abord eu en vue de substituer à l’équation ordinaire des courbes, et l’on voit, en effet, qu’en même temps qu’elle est très-propre à les caractériser, elle ne renferme rien d’arbitraire, rien qui ne soit absolument inhérent à la nature intime de ces courbes. Il est même aisé de prévoir que telle courbe dont l’équation ordinaire sera compliquée et même transcendante, pourra souvent, dans ce système, être exprimée par une équation algébrique très-simple. On en voit des exemples remarquables pour la Cycloïde et la Développante du cercle, dont les équations deviennent alors respectivement et étant, pour l’une et l’autre, le rayon du cercle générateur.
Le seul embarras que j’éprouvais, dans l’adoption de ce système, était de savoir comment je déduirais de l’équation d’une courbe une construction approchée, telle que celles qu’on déduit des équations différentielles entre des coordonnées parallèles à deux droites fixes. Je songeai donc à substituer aux rayons d’autres variables plus propres à remplir ce but, que je ne perdais jamais de vue, et j’en trouvai, en effet, de telles ; mais, je ne tardai pas d’apercevoir que ce que je considérais comme deux modes distincts d’exprimer les courbes, n’en faisaient au fond qu’un seul, et pouvaient facilement être déduits l’un de l’autre. La considération du dernier m'a même permis de simplifier considérablement les procédés relatifs à
