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ÉQUATIONS ABSOLUES

est possible, servent à fixer la situation des axes. La première question ne présente pas les mêmes difficultés.

De quelque système de coordonnées que l’on parte, il est clair que, pour une même courbe, l’équation, soit en $R$ et ${\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} \theta }}\,;$ soit en $R$ et $R'$ doit demeurer constamment la même. Mais, si la nature des coordonnées primitives n’exerce aucune influence sur le résultat définitif, elle peut rendre le calcul plus ou moins pénible. Nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que les coordonnées sont rectangulaires, d’autant que la question peut toujours être amenée à ce cas ; $x$ sera la variable indépendante, et nous poserons, suivant l’usage

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=p,\qquad {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}=q,\qquad {\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} x}}=r.$

En conséquence, nous mettrons l’équation (A) sous la forme

$R'{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}.\qquad$(B)

Cela posé, l’expression du rayon de courbure est

$R={\frac {\left(1+p^{2}\right)^{\tfrac {1}{2}}}{q}},\qquad$(C)

d’où

${\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}={\frac {3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}{\sqrt {1+p^{2}}}\,;$

d’un autre côté, en appelant $\theta ,$ comme nous en sommes convenus, l’angle que fait la normale ou le rayon de courbure avec l’axe des $x,$ on a

$\theta =-\operatorname {Arc} .(\left(\operatorname {Tang} .={\frac {1}{p}}\right),\quad {\text{d’où}}\quad {\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} x}}={\frac {q}{1+p^{2}}}\,;$

substituant donc dans l’équation (B), elle deviendra