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DES COURBES.

$R'.{\frac {q}{1+p^{2}}}={\frac {3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}{\sqrt {1+p^{2}}},$

ou

$R'={\frac {3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}.{\frac {\left(1+p^{2}\right)^{\tfrac {1}{2}}}{q}},$

ou enfin

$R'={\frac {3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}R.\qquad$(D)

Soit donc

$\phi (x,y)=0,\qquad$(I)

l’équation en coordonnées rectangulaires d’une courbe quelconque.

Par trois différentiations consécutives, on en tirera les trois nouvelles équations

${\begin{aligned}\phi '(x,y,p)&=0,\qquad (\mathrm {II} )\\\phi ''(x,y,p,q)&=0,\qquad (\mathrm {III} )\\\phi '''(x,y,p,q,r)&=0,\qquad (\mathrm {IV} )\\\end{aligned}}$

auxquelles on joindra encore les deux équations (C) et (D) qu’on pourra écrire ainsi

${\begin{aligned}q^{2}R^{2}=\left(1+p^{2}\right)^{3},\qquad \qquad \qquad (\mathrm {V} )\\q^{2}R'=\left[3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)\right]R\,;\qquad (\mathrm {VI} )\\\end{aligned}}$

et, en éliminant entre elles les cinq quantités $x,y,p,q,r,$ on obtiendra, pour résultat final, l’équation cherchée ; en $R$ et $R',$ dans laquelle on pourra ensuite substituer

${\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} \theta }}$ à $R'$, si on le juge convenable.

Si, au contraire, l’équation proposée était