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DE POSITION.

Théorème 1.er. Les quantités imaginaires, de la forme représentent, en géométrie de position, des perpendiculaires à l’axe des abscisses ; et réciproquement les perpendiculaires à l’axe des abscisses sont des imaginaires de la même forme.

Démonstration. La quantité est une moyenne proportionnelle, de grandeur et de position, entre et , c’est-à-dire, entre et donc, d’après le corollaire 1.er de la définition 3.e, la valeur de cette moyenne proportionnelle, de grandeur et de position, est  ; c’est-à-dire, qu’elle est perpendiculaire à l’axe des abscisses, et dirigée soit en dessus soit en dessous de cet axe ; et l’on a et Réciproquement, toute perpendiculaire à l’axe des abscisses est représentée, d’après nos notations, par  : elle est, par conséquent, d’après le corollaire 1.er de la définition 3, une moyenne proportionnelle entre et , ou entre et  : elle est donc une quantité imaginaire de la forme

Corollaire 1.er. Il suit de là que est un signe de position qui est identique avec .

Corollaire 2. De plus, puisqu’on a on a aussi

Corollaire 3. Les quantités dites imaginaires sont donc tout aussi réelles que les quantités positives et les quantités négatives, et n’en diffèrent que par leur position qui est perpendiculaire à celle de ces dernières.

Remarque générale. Cette théorie des signes de position est une conséquence nécessaire et irrécusable des premiers principes. Elle est plus conforme aux règles d’une saine logique que la théorie ordinaire où l’on admet, un peu gratuitement ou du moins sans nécessité, deux espèces différentes de quantités positives, et autant d’espèces de