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DE POSITION.

Observation. Le corollaire précédent contient le germe d’une théorie très-simple et très-lumineuse des logarithmes naturels, et de leurs rapports avec la circonférence du cercle. Il explique l’expression énigmatique « les arcs de cercle imaginaires sont des logarithmes » ; il donne enfin un sens raisonnable et intelligible à l’équation symbolique et mystérieuse ${\frac {\varpi }{2}}{\sqrt {-1}}=\operatorname {Log} .\left({\sqrt {-1}}\right).$

Corollaire 2. Puisque, d’après la notation 2.^e, on a $a_{\alpha }=a.1_{\alpha }\,;$ il suit du théorème précédent qu’on a aussi $a_{\alpha }=a.e^{\alpha {\sqrt {-1}}}.$

Corollaire 3. Comme on a $e^{\alpha {\sqrt {-1}}}=\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Sin} .\alpha {\sqrt {-1}}$ il s’ensuit que $a_{\alpha }=a\operatorname {Cos} .\alpha +a\operatorname {Sin} .\alpha {\sqrt {-1}}$ c’est-à-dire que, pour exprimer une droite de grandeur et de position, il faut prendre la somme de ses projections sur deux axes de coordonnées rectangulaires : bien entendu qu’on prendra chaque projection avec son signe de position.

Corollaire 4. Il suit de là qu’à une droite quelconque, donnée de grandeur et de position, on peut substituer tant d’autres droites qu’on voudra, pourvu que la somme de toutes les projections de ces dernières soit égale à la somme des projections de la droite donnée ; c’est-à-dire, qu’à une droite $x_{\xi }$ on peut substituer les droites $a_{\alpha },b_{\beta },c_{\gamma },\ldots m_{\mu }$ pourvu qu’on ait, entre ces quantités, la relation

$x.e^{\xi {\sqrt {-1}}}=a.e^{\alpha {\sqrt {-1}}}+b.e^{\beta {\sqrt {-1}}}+c.e^{\gamma {\sqrt {-1}}}+\ldots ++m.e^{\mu {\sqrt {-1}}}\,;\qquad$(A)

ou, à cause de l’indépendance du signe ${\sqrt {-1}},$

$\left.{\begin{aligned}x\operatorname {Cos} .\xi &=a\operatorname {Cos} .\alpha +b\operatorname {Cos} .\beta +c\operatorname {Cos} .\gamma +\ldots +m\operatorname {Cos} .\mu ,\\x\operatorname {Sin} .\xi &=a\operatorname {Sin} .\alpha +b\operatorname {Sin} .\beta +c\operatorname {Sin} .\gamma +\ldots +m\operatorname {Sin} .\mu .\\\end{aligned}}\right.\qquad$(B)

On voit que toutes ces droites $a_{\alpha },b_{\beta },c_{\gamma },\ldots$ peuvent être prises arbitrairement, à l’exception d’une seule, dont la grandeur et la position doivent être déterminées par l’équation (A) ou par ses équivalentes (B).

Réciproquement, on peut substituer à tant de droites, données