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RÈGLES

Telle est la manière dont doivent être envisagées l’addition et la soustraction des quantités négatives isolées.

De l’équation

$x-A=ac-bc-ad+bd,\qquad$(3)

on tire

$x=A+ac-bc-ad+bd,$

valeur qui peut, en général, se mettre sous cette forme

$x=A+(a-b)(c-d).\qquad$(4)

1.^o Je suppose $a<b$ et $c>d$ ou $b=a+\delta$ et $c=d+\omega .$ Il vient après la substitution dans l’équation (4),

$x=A+(-\delta )(\omega ).$

C’est-à-dire, qu’on aurait à ajouter à $A$ le produit d’une quantité négative isolée par une quantité positive. Or, on peut remarquer que, dans ce cas, on n’était point autorisé à mettre la valeur de $x$ sous la forme (4), puisque l’identité de cette forme avec la forme (3) n’a été démontrée (Alg. Mul.) que pour le cas où $a-b$ et $c-d$ étaient des différences naturelles ; mais alors la valeur (3), ou $a<b,$ et par conséquent $ac<bc$ et $ad<bd,$ pouvait s’écrire de la manière qui suit :

$x=A-(bc-ac)+(bd-ad)=A-(bc-ac-bd+ad)$

$=A-\left[(b-a)c-(b-a)d\right]=A-(b-a)(c-d)=A-\delta \omega \,;$

d’où l’on voit qu’on a été conduit à multiplier une quantité négative isolée par une quantité positive, parce qu’on a regardé comme possible la soustraction $(a-b)$ qui, dans l’hypothèse actuelle est impossible ; et, dans ce cas, on compense l’erreur qui a été commise, en formant