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INTÉGRATION

$\int x^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x=x^{n}\operatorname {Sin} .x+n\int x^{n-1}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x\,;\qquad$(a)

or,

$\operatorname {d} \left(x^{n-1}\operatorname {Cos} .x\right)=x^{n-1}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x+(n-1)x^{n-2}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x\,;$

donc

$\int x^{n-1}\operatorname {d} \operatorname {Cos} .x=x^{n-1}\operatorname {Cos} .x-(n-1)\int x^{n-2}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x.\qquad$(b)

De ces équations (a) et (b), on conclura aisément les valeurs de $\int x^{n-2}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x,\ \int x^{n-3}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x,\ \int x^{n-4}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x,\ldots$ et, par des substitutions successives, à partir de l’équation (a), on parviendra au résultat que voici :

(1)$\ \int x^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x=\left\{x^{n}-n(n-1)x^{n-2}+n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}-\ldots \right\}\operatorname {Sin} .x+$

$\left\{nx^{n-1}-n(n-1)(n-2)x^{n-3}+n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)x^{n-5}-\ldots \right\}\operatorname {Cos} .x\,;$

dont les séries, régies par une loi très-simple à apercevoir, sont finies, lorsque $n$ est un nombre positif et entier. Il est d’ailleurs aisé de voir que le coefficient de $\operatorname {Cos} .x$ est égal à la différentielle de celui de $\operatorname {Sin} .x,$ divisée par $\operatorname {d} x.$

Intégration de $x^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x.$

Suivant la méthode des intégrations réciproques (Art. 217 de l’ouv. cité), on a

$\int x^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x=x^{n}\operatorname {Cos} .x-n\int x^{n-1}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x,\qquad$(c)

$\int x^{n-1}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .x=x^{n-1}\operatorname {Sin} .x+(n-1)\int x^{n-2}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x.\qquad$(d)

Mettant successivement $n-2,n-4,\ldots$ dans les équations (c) et (d), on forme une suite d’équations qui ont chacune leur dernier terme affecté d’un facteur intégral qui est le premier membre de l’équation qui suit immédiatement ; donc, par une suite de substitutions successives, à partir de l’équation (c), on parvient aisément à celle