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DES FONCTIONS CIRCULAIRES.

(2)$\ \int x^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .x=\left\{x^{n}-n(n-1)x^{n-2}+n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}-\ldots \right\}\operatorname {Cos} .x-$

$\left\{nx^{n-1}-n(n-1)(n-2)x^{n-3}+n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)x^{n-5}-\ldots \right\}\operatorname {Sin} .x\,;$

dont les séries sont les mêmes que dans l’équation (1).

Intégration de $z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .^{m}z.$

Des équations, connues en trigonométrie, qui donnent respectivement les valeurs des puissances paires et impaires du cosinus d’un arc, en fonction des premières puissances des cosinus de ces arcs, et que j’ai rappelées, sous les lettres (a) et (b), à la page 411 du premier volume de mon Traité de calculs différentiel et intégral, on tire pour le cas de $m$ nombre positif et pair,

$\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .^{m}z={\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .mz+{\tfrac {m}{1}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .(m-2)z+\right.$

$\left.{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .(m-4)z+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+2}{{\tfrac {1}{2}}m-1}}\int z^{n}\operatorname {d} 2.\operatorname {Cos} .2z\right\}+$

${\frac {1.3.5\ldots (m-1)}{2.4.6\ldots m(n+1)}}z^{n+1}\,;$

et, pour le cas de $m$ nombre positif et impair,

$\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .^{m}z={\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{\int z^{n}\operatorname {d} .z.\operatorname {Cos} .mz+{\tfrac {m}{1}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .(m-2)z+\right.$

${\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .(m-4)z+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}(m+5)}{{\tfrac {1}{2}}(m+3}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .3z+$

$\left.{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {{\tfrac {1}{2}}(m+3)}{{\tfrac {1}{2}}(m-1)}}\int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .z\right\}.$

Multipliant et divisant, dans ces deux équations, chaque terme du second membre par la $(n+1)^{me}$ puissance du coefficient de $z$ sous le cosinus, en observant qu’en général