Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/100

94

ESSAI SUR LES PRINCIPES

Par $\operatorname {f} z,\ \operatorname {f} ^{2}z,\ \operatorname {f} ^{3}z,\ldots \operatorname {f} ^{n}z,$ la fonction marquée par $\operatorname {f} ,$ prise successivement 1 fois, 2 fois, 3 fois …, de la quantité $z$ : ce sont des Fonctions monômes du 1.^er, du 2.^e du 3.^e… du $n.^{me}$ ordre : $n$ est l’exposant de l’ordre de la fonction.

Par $\operatorname {f} ^{-1}z,\ \operatorname {f} ^{-2}z,\ldots \operatorname {f} ^{-n}z,$ des fonctions de $z$ dont la définition complète est donnée par l’équation générale

$\operatorname {f} ^{n}z\operatorname {f} ^{-n}z=\operatorname {f} ^{-n}z\operatorname {f} ^{n}z=z\,:\qquad$(1)

ce sont des Fonctions inverses ou d’Ordre négatif.

Si la quantité sous le signe fonctionnaire, c’est-à-dire, le sujet de la fonction, est polynôme, on le met entre parenthèses. Ainsi, $\operatorname {f} (a+z)$ désigne la fonction $\operatorname {f}$ du binôme $a+z.$ Lorsque le sujet de la fonction est regardé comme complexe, on emploie, avec les parenthèses, des virgules interposées entre les sujets partiels. Ainsi $\operatorname {f} \left[x,(b+y),z,\ldots \right]$ exprime la fonction $\operatorname {f}$ des quantités $x,(b+y),z,\ldots ].$

Si $\operatorname {f} z=z$ ; c’est-à-dire, si le sujet n’est pris qu’une fois, la fonction $\operatorname {f}$ est le facteur 1. Si $\operatorname {f} z=az,$ ou si le sujet est pris $a$ fois, la fonction $\operatorname {f}$ est le facteur $a.$

En supposant que le sujet $z$ soit complexe, par exemple, $z=\varphi (x,y,\ldots ),\ x,y,\ldots$ étant des quantités variables, arbitraires ou indépendantes qui reçoivent respectivement les accroissemens invariables ou constans quelconques $\alpha ,\beta ,\ldots ,$ si on a

$\operatorname {f} z=\varphi (x+\alpha ,y+\beta ,\ldots ,$)

la fonction $\operatorname {f}$ est ce qu’on appelle l’état varié de $z.$ Je propose, avec Arbogast (Calculs des dérivations, n.° 442) de désigner cette fonction particulière par la lettre $\operatorname {E}$ ; et j’adopte les définitions suivantes

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {E} z&=\varphi (x+\alpha ,y+\beta ,\ldots ),\\\operatorname {E} ^{-1}z&=\varphi (x-\alpha ,y-\beta ,\ldots ),\\\operatorname {E} ^{n}z&=\varphi (x+n\alpha ,y+n\beta ,\ldots ).\\\end{aligned}}\right\}(2)$