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DU CALCUL DIF., etc.

Si $\operatorname {f} z=\operatorname {E} z-z,$ la fonction $\operatorname {f}$ est ce qu’on appelle la différence de $z,$ à laquelle est consacrée, depuis long-temps, la lettre $\Delta .$ Ainsi ; on a les definitions

$\Delta z=\operatorname {E} z-z=\varphi (x+\alpha ,y+\beta ,\ldots )-\varphi (x,y,\ldots ).\qquad$(3)

On conclut de là, sur-le-champ, cette autre expression de l’état varié

$\operatorname {E} z=z+\Delta z.\qquad$(4)

Quand le sujet $z$ est complexe, on a souvent besoin d’exprimer que la fonction, n’est prise que par rapport à un seul sujet partiel. Si donc l’on veut exprimer que la fonction $\operatorname {f}$ n’est prise que par rapport à $x,$ on écrira ${\frac {\operatorname {f} }{x}}z\,;$ si la fonction ne doit atteindre que $y,$ ocx on écrira ${\frac {\operatorname {f} }{y}}z,$ et ainsi de suite. ${\frac {\operatorname {f} }{x}}z,\ {\frac {\operatorname {f} }{y}}z,\ldots$ sont donc les fonctions $\operatorname {f}$ partielles de $z.$ Ainsi, $a$ étant un facteur, on aura la définition suivante du facteur $a$ partiel

${\frac {a}{x}}z=\varphi (ax,y,\ldots ).$

De même, d’après (2), (3), on aura les définitions suivantes des états partiels partiels et des différences partielles

$\left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {E} ^{n}}{x}}z&=\varphi (x+n\alpha ,y,\ldots );{\frac {\operatorname {E} ^{n}}{y}}z=\varphi (x,y+n\beta ,\ldots )\,;\\{\frac {\Delta }{x}}z&=\varphi (x+\alpha ,y,\ldots )-\varphi (x,y,\ldots )={\frac {\operatorname {E} }{x}}z-z\,;\\{\frac {\Delta }{y}}z&=\varphi (x,y+\beta ,\ldots )-\varphi (x,y,\ldots )={\frac {\operatorname {E} }{y}}z-z.\\\end{aligned}}\right\}$(5)

$\operatorname {f} ^{0}z$ est toujours égal à $z\,;$ car, l’expression, elle-même indique