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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

${\mathcal {f}}\operatorname {f} \operatorname {f} ^{-1}z=\operatorname {f} \operatorname {f} ^{-1}{\mathcal {f}}z\,;$

or, (15)

${\mathcal {f}}\operatorname {f} \operatorname {f} ^{-1}z=\operatorname {f} {\mathcal {f}}\operatorname {f} ^{-1}z\,;$

donc

$\operatorname {f} {\mathcal {f}}\operatorname {f} ^{-1}z=\operatorname {f} \operatorname {f} ^{-1}\operatorname {f} z\,;$

et, en prenant de part et d’autre la fonction $\operatorname {f} ^{-1}$,

${\mathcal {f}}\operatorname {f} ^{-1}z=\operatorname {f} ^{-1}{\mathcal {f}}z.$

C’est le premier des théorèmes (16), et le deuxième se démontrerait de la même manière. Quant au troisième on a (1)

${\mathcal {f}}^{-1}{\mathcal {f}}\operatorname {f} ^{-1}z=\operatorname {f} ^{-1}{\mathcal {f}}^{-1}{\mathcal {f}}z\,;$

et, d’après le premier des théorèmes (16),

${\mathcal {f}}^{-1}\operatorname {f} ^{-1}{\mathcal {f}}z=\operatorname {f} ^{-1}{\mathcal {f}}^{-1}{\mathcal {f}}z\,;$

laquelle devient le troisième théorème (16), en y changeant ${\mathcal {f}}z$ en $z.$

9. Des théorèmes (n.^os 7, 8) on conclut, sans discussion, les formules qui suivent.

Quand $\operatorname {f} ,{\mathcal {f}},\varphi ,\ldots$ étant commutatives entre elles, $k,m,n,$ sont des nombres entiers positifs, on a

$\operatorname {f} ^{n}{\mathcal {f}}^{m}z={\mathcal {f}}^{m}\operatorname {f} ^{n}z\,;\qquad \qquad$(17)

puis, en désignant $\operatorname {f} .{\mathcal {f}}z$ par $\varphi z,$

$\varphi ^{n}z=\operatorname {f} ^{n}{\mathcal {f}}^{n}z={\mathcal {f}}^{n}\operatorname {f} ^{n}z\,;\qquad$(18)

enfin, en désignant $\operatorname {f} ^{n}{\mathcal {f}}^{m}z$ par $\psi z,$

$\psi ^{k}z=\operatorname {f} ^{kn}{\mathcal {f}}^{km}z={\mathcal {f}}^{km}\operatorname {f} ^{kn}z.$ (19)

10. Si les fonctions monômes d’une fonction polynôme sont à la fois distributives et commutatives entre elles, tous les ordres de la fonction polynôme seront des fonctions distributives (on le sait déjà d’après le n.^o 6) et commutatives, non seulement avec les différens ordres des composantes, mais aussi avec tous les ordres des fonctions distributives qui sont commutatives avec ces dernières.

Soit