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ESSAI SUR LES PRINCIPES

$\mathbf {F} z=\operatorname {f} z+{\mathcal {f}}z+\ldots \,;$

et supposons que les distributives $\operatorname {f} ,{\mathcal {f}},\ldots$. soient commutatives tant entre elles qu’avec une distributive quelconque $\phi .$ On aura (n.^o 6)

$\operatorname {f} \mathbf {F} z=\operatorname {f} ^{2}z+\operatorname {f} {\mathcal {f}}z+\ldots =\operatorname {f} ^{2}z+{\mathcal {f}}\operatorname {f} z+\ldots =\mathbf {F} \operatorname {f} z.$

On trouvera de même

${\mathcal {f}}\mathbf {F} z=\mathbf {F} {\mathcal {f}}z,\ldots ,\phi \mathbf {F} z=\mathbf {F} \phi z.$

Ajoutant à cela la considération fournie par la formule (17), la proposition se trouvera complètement démontrée.

11. Si les fonctions monômes de deux fonctions polynômes sont distributives et commutatives entre elles, les deux fonctions polynômes seront distributives (n.^o 6) et commutatives entre elles. Soient, en effet,

$\mathbf {F} z=\operatorname {f} z+{\mathcal {f}}z+\ldots \,;\qquad \mathbf {F} 'z=\operatorname {f} 'z+{\mathcal {f}}'z+\ldots \,;$

on aura évidemment

$\left.{\begin{aligned}\mathbf {F} \mathbf {F} 'z&=\operatorname {f} \operatorname {f} 'z+\operatorname {f} {\mathcal {f}}'z+\ldots +{\mathcal {f}}\operatorname {f} 'z+{\mathcal {f}}{\mathcal {f}}'z+\ldots \\\mathbf {F} '\mathbf {F} z&=\operatorname {f} '\operatorname {f} z+\operatorname {f} '{\mathcal {f}}z+\ldots +{\mathcal {f}}'\operatorname {f} z+{\mathcal {f}}'{\mathcal {f}}z+\ldots \\\end{aligned}}\right\}\quad$(20)

or, d’après l’hypothèse, ces deux développemens sont composés de termes identiques deux à deux ; on a donc

$\mathbf {F} \mathbf {F} 'z=\mathbf {F} '\mathbf {F} z.$

Si l’on fait ensuite

$\mathbf {F} ''z=\operatorname {f} ''z+{\mathcal {f}}''z+\ldots ,$

en supposant $\operatorname {f} '',{\mathcal {f}}'',\ldots$ distributives et commutatives entre elles et avec $\operatorname {f} ,{\mathcal {f}}',\ldots ,\operatorname {f} ',{\mathcal {f}}',\ldots \,;\ \mathbf {F} ''$ sera commutative avec $\mathbf {F} ,\mathbf {F} '\,;$ et par conséquent on aura (n.^o 7)

$\mathbf {F} \mathbf {F} '\mathbf {F} ''z=\mathbf {F} \mathbf {F} ''\mathbf {F} 'z=\mathbf {F} '\mathbf {F} \mathbf {F} ''z=\mathbf {F} '\mathbf {F} ''\mathbf {F} z=\mathbf {F} ''\mathbf {F} \mathbf {F} 'z=\mathbf {F} ''\mathbf {F} '\mathbf {F} z\,;$

et ainsi du reste.

12. Le développement des fonctions monômes composées, telles