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ESSAI SUR LES PRINCIPES

$\left.{\begin{array}{rl}{\mathcal {f}}y=&{\frac {\Delta \operatorname {F} (x+y)}{\alpha }}-{\frac {(y+\alpha )}{\alpha }}\Delta {\mathcal {f}}y,\\2\Delta {\mathcal {f}}y=&{\frac {\Delta ^{2}\operatorname {F} (x+y)}{\alpha }}-{\frac {(y+2\alpha )}{\alpha }}\Delta ^{2}{\mathcal {f}}y,\\3\Delta {\mathcal {f}}y=&{\frac {\Delta ^{3}\operatorname {F} (x+y)}{\alpha }}-{\frac {(y+3\alpha )}{\alpha }}\Delta ^{3}{\mathcal {f}}y,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{array}}\right\}$(31)

prenant enfin la somme des produits respectifs de ces équations (31) par

$y,\qquad -{\frac {y(y+\alpha )}{1.2.\alpha }},\qquad +{\frac {y(y+\alpha )(y+2\alpha )}{1.2.3.\alpha ^{2}}},\ldots ,$

il vient en réduisant, et ayant égard à l’équation (29),

$\operatorname {F} (x+y)=\operatorname {F} x+{\frac {y}{\alpha }}\Delta \operatorname {F} (x+y)-{\frac {y(y+\alpha )}{1.2.\alpha ^{2}}}\Delta ^{2}\operatorname {F} (x+y)+\ldots \,;$

ou bien, en transposant,

$\operatorname {F} x=\operatorname {F} (x+y)-{\frac {y}{\alpha }}\Delta \operatorname {F} (x+y)+{\frac {y(y+\alpha )}{1.2.\alpha ^{2}}}\Delta ^{2}\operatorname {F} (x+y)$

$-{\frac {y(y+\alpha )(y+2\alpha )}{1.2..3.\alpha ^{3}}}\Delta ^{3}\operatorname {F} (x+y)+\ldots .\qquad$(32)

On peut donner à ce développement plusieurs autres formes, très-remarquables.

D’abord je fais $x+y=p\,;$ relation qui donne, parce que $x$ est constante,

$\Delta (x+y)=\Delta y=\Delta p=\alpha \,;$

par conséquent l’expression $\Delta ^{n}\operatorname {F} (x+y)$ devient évidemment $\Delta ^{n}\operatorname {F} p,$ les différences étant prises par rapport à $p$ qui varie de $\alpha \,;$ on a ainsi

$\operatorname {F} x=\operatorname {F} p+{\frac {(x-p)}{\alpha }}\Delta \operatorname {F} p+{\frac {(x-p)(x-p-\alpha )}{1.2.\alpha ^{2}}}\Delta ^{2}\operatorname {F} p$

$+{\frac {(x-p)(x-p-\alpha )(x-p-2\alpha )}{1.2.3.\alpha ^{3}}}\Delta ^{3}\operatorname {F} p+\ldots \qquad$(33)