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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

des autres, sont toutes de la forme $x^{n}\psi x.$ Cependant, après un examen réfléchi, on reconnaît que ces inconvéniens ne sont pas insurmontables, et qu’ils disparaissent quand on modifie un peu le procédé ; et, en particulier, quand on n’attaque pas d’abord le problème général. Voici ce que j’ai trouvé de plus simple à cet égard.

14. Dans $\operatorname {F} (x+y)$ je considère $y$ seule comme variable, ayant $\alpha$ pour accroissement arbitraire et constant. J’écris l’équation identique

$\operatorname {F} (x+y)=\operatorname {F} x+y\left\{{\frac {\operatorname {F} (x+y)-\operatorname {F} x}{y}}\right\}\,;$

laquelle, en faisant

${\frac {\operatorname {F} (x+y)-\operatorname {F} x}{y}}={\mathcal {f}}y,\qquad$(28)

devient

$\operatorname {F} (x+y)=\operatorname {F} x+y{\mathcal {f}}y.\qquad$(29)

Je prends les différences successives de l’équation (29), par rapport à $y$ seule ; et pour cela je fais observer qu’en général (3)

$\Delta (\varphi y.\psi y)=\varphi (y+\alpha ).\psi (y+\alpha )-\varphi y.\psi y\,;$

ou bien

$\Delta (\varphi y.\psi y)=\varphi y.\Delta \psi y+\Delta \varphi y.\psi (y+\alpha )\,;\qquad$(30)

après quoi j’ai successivement

${\begin{array}{rll}\Delta \operatorname {F} (x+y)=&\ \alpha {\mathcal {f}}y&+(y+\alpha )\Delta {\mathcal {f}}y,\\\Delta ^{2}\operatorname {F} (x+y)=&2\alpha \Delta {\mathcal {f}}y&+(y+2\alpha )\Delta ^{2}{\mathcal {f}}y,\\\Delta ^{3}\operatorname {F} (x+y)=&3\alpha \Delta ^{2}{\mathcal {f}}y&+(y+3\alpha )\Delta ^{3}{\mathcal {f}}y,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{array}}$

d’où, je tire, par transposition,