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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

$\varphi z=z+fz=(1+f)z\,;$

en supposant $\alpha =1,$ on aura sur-le-champ, d’après (53), (58), (55)

$\left.{\begin{aligned}(1+f)^{x}z&=z+{\frac {x}{1}}fz+{\frac {x}{1}}{\frac {x-1}{2}}f^{2}z+{\tfrac {x}{1}}{\tfrac {x-1}{2}}{\tfrac {x-2}{3}}f^{3}z+\ldots \\(1+f)^{x}z&=z+{\frac {x}{1}}\operatorname {L} (1+f)z+{\frac {x^{2}}{1.2}}\left[\operatorname {L} (1+f)\right]^{2}z+\ldots \\\operatorname {L} (1+f)z&=fz-{\tfrac {1}{2}}f^{2}z+{\tfrac {1}{3}}f^{3}z-{\tfrac {1}{4}}f^{4}z+\ldots \\\end{aligned}}\right\}$ (66)

Soit

$\varphi z=fz+\operatorname {f} z.$

Je prends, de part et d’autre, la fonction inverse $f^{-1},$ et j’ai

$f^{-1}\varphi z=z+f^{-1}\operatorname {f} z,$

laquelle, en faisant,

$f^{-1}\varphi z=\psi z,\qquad f^{-1}\operatorname {f} z=\operatorname {F} z,$

devient

$\psi z=z+\operatorname {L} z\,;$

et d’après la formule (66), j’obtiendrai

${\begin{aligned}\psi ^{x}z&=z+{\frac {x}{1}}\operatorname {F} z+{\frac {x}{1}}{\frac {x-1}{2}}\operatorname {F} ^{2}z+{\frac {x}{1}}{\frac {x-1}{2}}{\frac {x-2}{3}}\operatorname {F} ^{3}z+\ldots \\\psi ^{x}z&=z+{\frac {x}{1}}\operatorname {L} (1+\operatorname {F} )z+{\frac {x^{2}}{1.2}}\left[\operatorname {L} (1+\operatorname {F} )\right]^{2}z+\ldots \\\operatorname {L} (1+\operatorname {F} )\zeta &=\operatorname {F} \zeta -{\tfrac {1}{2}}\operatorname {F} ^{2}\zeta +{\tfrac {1}{3}}\operatorname {F} ^{3}\zeta -{\tfrac {1}{4}}\operatorname {F} ^{4}\zeta +\ldots \\\end{aligned}}$

Dans celles-ci, je mets pour $\psi \zeta$ et $\operatorname {F} \zeta$ leurs expressions d’hypothèse puis je prends, dans la première et la seconde, de part et d’autre la fonction $f$ et j’ai