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ESSAI SUR LES PRINCIPES

$\left.{\begin{aligned}\varphi ^{x}=(f+\operatorname {f} )^{x}\zeta &=f^{x}\zeta +{\frac {x}{1}}f^{x-1}\operatorname {f} \zeta +{\frac {x}{1}}{\frac {x-1}{2}}f^{x-2}\operatorname {f} ^{2}\zeta +\ldots \\\varphi ^{x}=(f+\operatorname {f} )^{x}\zeta &=f^{x}\zeta +{\frac {x}{1}}\operatorname {L} \left(1+\operatorname {f} f^{-1}\right)f^{x}\zeta \\&+{\frac {x^{2}}{1.2}}\left[\operatorname {L} \left(1+\operatorname {f} f^{-1}\right)\right]^{2}f^{x}\zeta +\ldots \\\operatorname {L} \left(1+\operatorname {f} f^{-1}\right)\zeta &=\operatorname {f} f^{-1}\zeta -{\tfrac {1}{2}}\operatorname {f} ^{2}f^{-2}\zeta +{\tfrac {1}{3}}\operatorname {f} ^{3}f^{-3}\zeta -\ldots \\\end{aligned}}\right\}$ (67)

Soit

$\varphi \zeta =f\zeta +\operatorname {f} \zeta +\psi \zeta .$

On fera $\operatorname {f} \zeta +\psi \zeta =\operatorname {F} \zeta ,$ et on aura (67) les développemens relatifs à

$\varphi ^{x}\zeta =(f+\operatorname {F} )^{x}\zeta .$

Dans ceux-ci, au lieu des différens ordres $\operatorname {F} ^{2}\zeta ,\operatorname {F} ^{3}\zeta ,\ldots$ on mettra leurs déveioppemens donnés par les mêmes équations (67) ; d’après

$\operatorname {F} ^{x}\zeta =(\operatorname {f} +\psi )^{x}\zeta .$

On voit, sans qu’il soit besoin d’insister, comment on arriverait aux deux développemens de l’ordre $x$ de la fonction polynôme quelconque, aux fonctions distributives et commutatives ; c’est-à-dire, qu’on sait développer la fonction

$\varphi ^{x}\zeta =(f+\operatorname {f} +\operatorname {F} +\psi +\ldots )^{x}\zeta .$

17. Je vais appliquer ces généralités aux fonctions données par la considération des différences des quantités variables, fonctions que j’appellerai fonctions différentielles.

En considérant $\zeta$ comme fonction des deux seules variables $x,y$ (ce que nous dirons pourra s’appliquer sans peine aux fonctions d’un plus grand nombre), ses fonctions différentielles, totales ou partielles, sont (n.^o 1)

$\operatorname {E} \zeta ,\ {\frac {\operatorname {E} }{x}}\zeta ,\ {\frac {\operatorname {E} }{y}}\zeta \,\ ;\quad \Delta \zeta ,\ {\frac {\Delta }{x}}\zeta ,\ {\frac {\Delta }{y}}\zeta \,\ ;\quad \operatorname {d} \zeta ,\ {\frac {\operatorname {d} }{x}}\zeta ,\ {\frac {\operatorname {d} }{y}}\zeta .$

On voit que, d’après la notation proposée (n.^o 1), pour les fonc-