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ESSAI SUR LES PRINCIPES

mières. Il serait déplacé d’entrer ici dans aucun détail concernant les états variés et les différences des fonctions élémentaires ; je me borne à la recherche de leurs différentielles.

Les fonctions élémentaires simples d’une seule variable $x$ sont les fonctions monômes

$x^{m},\qquad a^{x},\qquad \operatorname {L} x,\qquad \operatorname {Sin} .x,\qquad \operatorname {Cos} .x,$

dans lesquelles on attribue à $x$ une différence constante. Les fonctions élémentaires composées sont

$\varphi x.\psi x,\qquad (\varphi x)^{m},\qquad a^{\varphi x},\qquad \operatorname {L} \varphi x,\qquad \operatorname {Sin} .\varphi x,\qquad \operatorname {Cos} .\varphi x.$

Il y a, pour faire dépendre les différentielles de celles-ci, et, en général, des fonctions composées, de celles des fonctions simples, un théorème important qu’il faut préliminairement établir.

Soient $y=\varphi x$, et $\operatorname {F} y=\operatorname {F} \varphi x\,;\ \varphi ,\ \operatorname {F}$ sont des fonctions quelconques. En supposant que la différence de $y$ est la constante $\beta ,$ on a, par la formule (47)

$\operatorname {F} (y+m)=\operatorname {F} y+{\frac {m}{\beta }}\operatorname {d} \operatorname {F} y+{\frac {m^{2}}{1.2.\beta ^{2}}}\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} y+{\frac {m^{3}}{1.2.3.\beta ^{3}}}\operatorname {d} ^{3}\operatorname {F} y+\ldots$

Ici $m$ est arbitraire ; partant, je puis faire

$m=n\operatorname {d} \varphi x+{\frac {n^{2}}{1.2}}\operatorname {d} ^{2}\varphi x+{\frac {n^{3}}{1.2.3}}\operatorname {d} ^{3}\varphi x+\ldots \qquad$(79)

et j’aurai

$\left.{\begin{array}{rll}\operatorname {F} (y+m)=\operatorname {F} y+{\frac {n}{\beta }}\operatorname {d} \operatorname {F} y.\operatorname {d} \varphi x&+{\frac {n^{2}}{1.2.\beta }}\operatorname {d} \operatorname {F} y.\operatorname {d} ^{2}\varphi x&+\ldots \\&+{\frac {n^{2}}{1.2.\beta ^{2}}}\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} y(\operatorname {d} \varphi x)^{2}&+\ldots \\&&+\ldots \\\end{array}}\right\}$(80)

mais, d’après la formule (46), eu égard à l’hypothèse (79), on a

$\varphi (x+n\alpha )=\varphi x+{\frac {n}{1}}\operatorname {d} \varphi x+{\frac {n^{2}}{1.2}}\operatorname {d} ^{2}\varphi x+\ldots =y+m\,;$

donc