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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

$\operatorname {F} (y+m)=\operatorname {F} \varphi (x+n\alpha )$

Je développe le second membre de celle-ci, par la même formule (46), et j’ai pour $\operatorname {F} (y+m)$ cette autre expression

$\operatorname {F} (y+m)=\operatorname {F} \varphi x+{\frac {n}{1}}\operatorname {d} \operatorname {F} \varphi x+{\frac {n^{2}}{1.2}}\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} \varphi x+\ldots \,;$

laquelle, comparée avec la première (80), donne sur-le-champ, à cause de l’indéterminée $n,$

$\operatorname {d} \operatorname {F} \varphi x={\frac {\operatorname {d} \operatorname {F} y}{\beta }}.\operatorname {d} \varphi x.\qquad$(81)

Si on avait $x=\psi t,$ en donnant à $x$ la différence constante $\alpha ,$ il est clair qu’on aurait, par la formule (81)

$\operatorname {d} \operatorname {F} \varphi \psi t={\frac {\operatorname {d} \operatorname {F} y}{\beta }}.{\frac {\operatorname {d} \varphi x}{\alpha }}.\operatorname {d} \psi t\,;$

et ainsi de suite.

Cela posé, d’après la formule (56), en y supposant que la fonction $\varphi$ devienne le facteur $a,$ et que $z$ soit égal à l’unité, nous avons

$\operatorname {d} a^{x}=a^{x}\operatorname {L} a^{\alpha }\,;\qquad$(82)

$\alpha$ étant la variation constante de $x.$ Dans cette hypothèse, on a $\alpha =\Delta x,\ 0=\Delta ^{2}x=\Delta ^{3}x=\ldots \,;$ par conséquent, d’après la définition (39)

$\operatorname {d} x=\Delta x=\alpha .$

D’ailleurs, d’après (59) on a

$\operatorname {L} a^{\alpha }=\alpha \operatorname {L} a\,;$

donc, au lieu de (82), on aura

$\operatorname {d} a^{x}=a^{x}\operatorname {d} x.\operatorname {L} a.$(83)

Supposons ensuite