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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

$\operatorname {d} (\varphi x.\operatorname {F} x)=\varphi x.\operatorname {F} x.\operatorname {dL} (\varphi x.\operatorname {F} x)=\varphi x.\operatorname {F} x(\operatorname {dL} \varphi x+\operatorname {dLF} x)\,;$

donc, d’après (86)

$\operatorname {d} (\varphi x.\operatorname {F} x)=\operatorname {F} x.\operatorname {d} \varphi x+\varphi x.\operatorname {dF} x\,:\qquad$(88)

c’est la formule de différentiation des produits.

Soit

$\operatorname {F} x={\frac {\operatorname {Cos} .\alpha x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\alpha x}{\operatorname {Cos} .^{x}\alpha }}.\qquad$(89)

$\alpha$ est une constante, $x$ est variable, et sa différence constante est 1. On a

$\Delta \operatorname {F} (x+1)={\frac {\operatorname {Cos} .\alpha (x+1)+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\alpha (x+1)}{\operatorname {Cos} .^{x+1}\alpha }}$

$-{\frac {\operatorname {Cos} .\alpha x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\alpha x}{\operatorname {Cos} .^{x}\alpha }}\,;$

puis, en développant, par les formules trigonométriques connues les cosinus et sinus de $\alpha x+\alpha ,$ et en réduisant

$\Delta \operatorname {F} x=\operatorname {F} x.\left({\sqrt {-1}}.\operatorname {Tang} .\alpha \right)\,;$

par conséquent, en général

$\Delta ^{m}\operatorname {F} x=\operatorname {F} x\left({\sqrt {-1}}.\operatorname {Tang} .\alpha \right)^{m}\,;$

donc, d’après la définition (39), on aura

$\operatorname {dF} x=\operatorname {F} x.\left[\left({\sqrt {-1}}.\operatorname {Tang} .\alpha \right)-{\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {-1}}.\operatorname {Tang} .\alpha \right)^{2}+\ldots \right]$

et, en comparant avec la formule (55),

$\operatorname {dF} x=\operatorname {F} x.\operatorname {L} \left(1+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Tang} .\alpha \right).\qquad$(90)

D’ailleurs (88)

$\operatorname {dF} x=\left({\frac {1}{\operatorname {Cos} .\alpha }}\right)^{x}.\operatorname {d} \left(\operatorname {Cos} .\alpha x+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Sin} .\alpha x\right)$

$+\left(\operatorname {Cos} .\alpha x+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Sin} .\alpha x\right).\operatorname {d} \left({\frac {1}{\operatorname {Cos} .\alpha }}\right)^{x}.\qquad$(91)

Mais d’une part, en différenciant la formule connue