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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

La constante $A,$ quoique impliquée d’imaginaires, est facilement ramenée à une forme toute réelle. En effet, à cause de la formule connue

$\operatorname {Cos} .^{2}\alpha ={\frac {1}{1+\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }}={\frac {1}{\left(1+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Tang} .\alpha \right)\left(1-{\sqrt {-1}}.\operatorname {Tang} .\alpha \right)}},$

on a

$A{\sqrt {-1}}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {L} \left[\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .\left(1+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Tang} .\alpha \right)^{2}\right]$

$={\tfrac {1}{2}}\operatorname {L} \left({\frac {\left(1+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Tang} .\alpha \right)}{\left(1-{\sqrt {-1}}.\operatorname {Tang} .\alpha \right)}}\right)\,;$

et, en développant la dernière expression d’après une formule logarithmique connue, puis en divisant par ${\sqrt {-1}},$

$A=\operatorname {Tang} .\alpha -{\tfrac {1}{3}}\operatorname {Tang} .^{3}\alpha +{\tfrac {1}{5}}\operatorname {Tang} .^{5}\alpha -\ldots \qquad$(97)

Ainsi, quand on ne saurait pas d’ailleurs que cette expression de $A$ est égale à $\alpha ,$ on aurait toujours le moyen, d’après les équations (96), et (97), de différencier les fonctions trigonométriques. Au surplus, par les seuls élémens, on démontre que ${\frac {A}{\alpha }}=1$ (voyez, Théorie des fonctions analitiques, n.^o 28 de la 1.^re édition, et n.^o 23 de la seconde).

19. Nous avons vu naître le calcul différentiel du simple développement des fonctions d’une variable suivant les puissances de cette variable : ce calcul va nous servir maintenant à nous élever à quelque chose de plus général.

Supposons qu’on donne, entre les variables $x,y,$ l’équatïônr $V=0$ et l’équation $z=\operatorname {F} x.$ On peut du moins imaginer qu’on ait tiré de la première celle-ci $y=\varphi x,$ et qu’entre cette dernière et la seconde, on ait éliminé $x$, pour avoir $z=fy$ ; de manière que l’hypothèse revient à donner les trois équations

$y=\varphi x,\qquad z=\operatorname {F} x,\qquad z=fy.\qquad$(98)

Alors, d’après la formule (45), on aura