Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/138

132

ESSAI SUR LES PRINCIPES

$+{\frac {(\varphi x-\varphi \theta )^{3}}{1.2.3}}\left\{{\frac {(x-\theta )^{3}\operatorname {dF} x}{(\varphi x-\varphi \theta )^{3}}}\right\}_{0}+\ldots \qquad$(112)

C’est la formule du professeur Burman (voyez Mémoires de l’Institut, 1.^re classe, tome II, page 16) ; dans le second des deux mémoires dont ceci est l’extrait, je l’avais déduite de la célèbre formule de Lagrange pour le retour des suites.

Dans l’expression (110) du terme général des coefficiens de la formule (111), on pourra mettre, avant les différentiations, au lieu de $y-p,$ son expression en $x,$ si la forme de l’équation $V=0$ le permet ; sinon, après les différentiations, il faudra substituer pour ${\frac {x-\theta }{y-p}},\operatorname {d} y,\operatorname {d} ^{2}y,\ldots$ ce que deviennent ces fonctions, quand $x-\theta$ et $y-p$ s’anéantissent à la fois ; ce qui sera possible, en général, d’après l’équation $V=0.$

Si l’équation donnée entre $x$ et $y$ est simplement $y=\varphi x,$ on aura d’après (105)

$\left({\frac {x-\theta }{y-p}}\right)_{0}={\frac {1}{\operatorname {d} \varphi \theta }}$

en supposant toutefois que l’équation $\varphi x=0$ ne donne pour $x$ qu’une seule valeur égale à $\theta .$ C’est ce qu’il faudra substituer au lieu de ${\frac {x-\theta }{y-p}}$ après les développemens.

Si l’équation donnée entre $x$ et $y$ est par exemple

$x-\theta =(y-p)\psi x,$

qui donne en effet $x=0$ quand $y=p$ et réciproquement ; l’équation (111) devient

$\operatorname {F} x=\operatorname {F} \theta +(y-p)^{\psi \theta }.\operatorname {dF} \theta +{\frac {(y-p)^{2}}{1.2}}\operatorname {d} \left[(\psi \theta )^{2}.\operatorname {dF} \theta \right]$

$+{\frac {(y-p)^{3}}{1.2.3}}\operatorname {d} ^{2}\left[(\psi \theta )^{3}.\operatorname {dF} \theta \right]+\ldots \qquad$(113)