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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Je fais $x=0$ dans la première ; le premier terme, à cause de (109), devient $A$ et les suivans s’anéantissent, donc

$A=\left\{{\frac {x-\theta }{y-p}}\operatorname {dF} x\right\}_{0}.$

J’indiquerai par le 0, placé en flanc d’une expression, qu’il faut faire, dans son développement, $x-\theta =0.$

Je différencie une fois la seconde équation (104), puis je fais $x=0\,;$ le premier terme $-A\operatorname {d} \left[(x-\theta )^{2}\operatorname {d} (y-p)^{-1}\right]$ est nul (108) ; le second $B\operatorname {d} \left[(x-\theta )^{2}{\frac {\operatorname {d} y}{y-p}}\right]$ devient $B$ (109) ; tous les suivans s’évanouissent ; donc

$B=\operatorname {d} \left\{\left({\frac {x-\theta }{y-p}}\right)^{2}\operatorname {dF} x\right\}_{0}.$

Je différencie deux fois de suite la troisième équation (104), puis je fais $x=0\,;$ les deux premiers termes du second membre, étant dans le cas de (108), sont nuls ; le troisième se réduit à $C$ d’après (109) ; les suivans sont visiblement nuls ; donc

$C=\operatorname {d} ^{2}\left\{\left({\frac {x-\theta }{y-p}}\right)^{3}\operatorname {dF} x\right\}_{0}.$

Il n’est pas nécessaire d’aller plus loin pour conclure en toute rigueur qu’en général

$N={\frac {\operatorname {d} ^{n}fp}{\beta ^{n}}}=\operatorname {d} ^{n-1}\left\{\left({\frac {x-\theta }{y-p}}\right)^{n}\operatorname {dF} x\right\}_{0}\qquad$(110)

ainsi l’équation (99) devient

$\operatorname {F} x=\operatorname {F} \theta +{\frac {(y-p)}{1}}\left\{\left({\frac {x-\theta }{y-p}}\right)\operatorname {dF} x\right\}_{0}+{\frac {(y-p)^{2}}{1.2}}\operatorname {d} \left\{\left({\frac {x-\theta }{y-p}}\right)^{2}\operatorname {dF} x\right\}_{0}$

$+{\frac {(y-p)^{3}}{1.2.3}}\operatorname {d} ^{2}\left\{\left({\frac {x-\theta }{y-p}}\right)^{3}\operatorname {dF} x\right\}_{0}+\ldots \qquad$(111)

ou bien, si l’on veut mettre, pour $y$ et $p,$ les expressions correspondantes $\varphi x$ et $\varphi \theta ,$