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ESSAI SUR LES PRINCIPES

Telle est (116) une formule très-étendue, dont j’ai fait, dans mes deux mémoires, de nombreuses applications. J’y étais parvenu immédiatement, et par une méthode bien différente : celle de l’élimination des fonctions arbitraires, par les différentiations partielles ; méthode qui, maniée par les Laplace, les Lagrange, etc., a fourni les plus brillans résultats ; et qui, dans la matière dont nous nous occupons, permet d’aborder avec succès ce problème très-genéral : Une équation étant donnée entre plusieurs variables, développer une fonction proposée d’une ou de plusieurs de ces variables en série ordonnée suivant les puissances de l’une d’entr’elles, ou suivant les puissances et produits de plusieurs d’entr’elles. Je ne puis donner ici qu’une idée de la manière de procéder, en en faisant l’application à un cas peu compliqué.

Soit donnée l’équation.

$ft=u\varphi (x+t)+v\psi (x+t).\qquad$(118)

Il s’agit de développer $\operatorname {F} (x+t)$ suivant les puissances et produits de $u,v\,?$

La résolution de l’équation (118) donnerait pour $t$ une expression de la forme $t=f(u,v,x)\,:u,v,x$ n’ayant d’ailleurs entr’elles aucune équation de condition ; ainsi, on peut considérer $t$ comme fonction des trois variables indépendantes $u,v,x,$ dont les différences sont constantes et égales à l’unité, Cela étant, on sait, et il serait d’ailleurs facile de le conclure de la formule (78, n.^o 17), qu’on a, en désignant, pour plus de simplicité, $x+t$ par $p,$

$\left.{\begin{array}{rll}\operatorname {F} p=\operatorname {F} p_{0}+u{\frac {\operatorname {d} }{u}}\operatorname {F} p_{0}&+{\frac {u^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{u}}\operatorname {F} p_{0}&+\ldots \\+v{\frac {\operatorname {d} }{v}}\operatorname {F} p_{0}&+2{\frac {uv}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} }{u}}{\frac {\operatorname {d} }{v}}\operatorname {F} p_{0}&+\ldots \\&+{\frac {v^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{v}}\operatorname {F} p_{0}&+\ldots \\&&+\ldots \\\end{array}}\right\}\qquad$(119)