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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Le zéro, en flanc de $\operatorname {F} p,{\frac {\operatorname {d} }{u}}\operatorname {F} p,{\frac {\operatorname {d} }{v}}\operatorname {F} p,\ldots$ signifie qu’il faut faire égales à zéro les variables $u,v,$ après les développemens.

Je différencie successivement $\operatorname {F} p$ par rapport à $u,v,x,$ et j’ai, en faisant attention au théorème (81),

${\frac {\operatorname {d} }{u}}\operatorname {F} p=\operatorname {d} \operatorname {F} p.{\frac {\operatorname {d} }{u}}t\,;\qquad {\frac {\operatorname {d} }{v}}\operatorname {F} p=\operatorname {d} \operatorname {F} p.{\frac {\operatorname {d} }{v}}t\,;\qquad {\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p=\operatorname {d} \operatorname {F} p\left(1+{\frac {\operatorname {d} }{x}}t\right).$

J’élimine entre celles-ci $\operatorname {d} \operatorname {F} p,$ et j’ai

${\frac {\operatorname {d} }{u}}\operatorname {F} p={\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{u}}t}{\left(1+{\frac {\operatorname {d} }{x}}t\right)}}\,;\qquad {\frac {\operatorname {d} }{v}}\operatorname {F} p={\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{v}}t}{1+{\frac {\operatorname {d} }{x}}t}}.\qquad$(120)

Je différencie successivement l’équation (118) suivant $u,v,x$ et j’écris les résultats comme il suit

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} }{u}}t(\operatorname {d} ft-u\operatorname {d} \varphi p-v\operatorname {d} \psi p)&=\varphi p,\qquad \ \,{\text{(121)}}\\{\frac {\operatorname {d} }{v}}t(\operatorname {d} ft-u\operatorname {d} \varphi p-v\operatorname {d} \psi p)&=\psi p,\qquad \ \,{\text{(122)}}\\\left(1+{\frac {\operatorname {d} }{x}}t\right)(\operatorname {d} ft-u\operatorname {d} \varphi p-v\operatorname {d} \psi p)&=\operatorname {d} ft.\qquad {\text{(123)}}\\\end{aligned}}$

J’élimine entre ces trois dernières le facteur polynôme commun à leurs premiers membres ; et j’ai

${\frac {\operatorname {d} }{u}}t={\frac {\varphi p}{\operatorname {d} ft}}\left(1+{\frac {\operatorname {d} }{x}}t\right),\qquad {\frac {\operatorname {d} }{v}}t={\frac {\psi p}{\operatorname {d} ft}}\left(1+{\frac {\operatorname {d} }{x}}t\right).\qquad$(124)

Je mets ces expressions (124) dans les équations (120), et j’ai

${\frac {\operatorname {d} }{u}}\operatorname {F} p={\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.{\frac {\varphi p}{\operatorname {d} ft}}\,;\qquad {\frac {\operatorname {d} }{v}}\operatorname {F} p={\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.{\frac {\psi p}{\operatorname {d} ft}}.\qquad$(125)

Comme la fonction $\operatorname {F}$ est arbitraire, celles-ci donnent