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D’ASTRONOMIE.

$PQ'-P'Q+P'Q''-P''Q'+P''Q-PQ''=0:$

équation essentielle, et remarquable par sa simplicité.

84. Divisant les trois premières de ces équations l’une par l’autre, on aura

${\begin{aligned}{\frac {PQ'-P'Q}{PQ''-P''Q}}=&{\frac {\theta '-\theta }{\theta ''-\theta }},\\{\frac {P'Q''-P''Q'}{PQ''-P''Q}}=&{\frac {\theta ''-\theta '}{\theta ''-\theta }}.\\\end{aligned}}$

Ainsi donc, tant que les observations seront assez rapprochées pour que les angles $\varkappa '-\varkappa ,\varkappa ''-\varkappa '$ puissent être confondus avec leurs sinus, sans erreur sensible, les trois différences des produits $PQ'-P'Q,$ $P'Q''-P''Q',$ $PQ''-P''Q,$ seront proportionnelles aux intervalles des temps. Il en résulte deux équations entièrement algébriques, qui ne renferment d’autres inconnues que les deux seuls angles $\beta ,\delta ,$ desquels dépend la position du plan de l’orbite, et dont nous pourrons tirer, avec facilité, les expressions litérales de ces inconnues.

85. Procédons d’abord au développement de ces trois différences de produits. Faisons ${\frac {b}{a}}=m\,;$ on aura

${\begin{aligned}mP=&{\frac {\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .(\theta -\delta )+\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\theta -A)\operatorname {Cot} .B}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A)\operatorname {Cot} .B}},\\mP'=&{\frac {\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .(\theta '-\delta )+\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\theta '-A')\operatorname {Cot} .B'}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A')\operatorname {Cot} .B'}},\\mP''=&{\frac {\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .(\theta ''-\delta )+\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\theta ''-A'')\operatorname {Cot} .B''}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A'')\operatorname {Cot} .B''}}\,;\\mQ=&{\frac {\operatorname {Sin} .(\theta -\delta )}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A)\operatorname {Cot} .B}},\\mQ'=&{\frac {\operatorname {Sin} .(\theta '-\delta )}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A')\operatorname {Cot} .B'}},\\mQ''=&{\frac {\operatorname {Sin} .(\theta ''-\delta )}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A'')\operatorname {Cot} .B''}}.\\\end{aligned}}$