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RÉFLEXIONS

systèmes métaphysiques aux mathématiques, quelques réflexions qui ne pourraient que difficilement trouver place ailleurs, et que le sujet qui m’occupe semble amener d’une manière assez naturelle.

$\operatorname {M'} ={\frac {2}{2+\mu }}\left\{\operatorname {M+L} +\ldots +\operatorname {A} +1\right\}=$
${\frac {2}{2+\mu }}\left\{{\frac {1}{1+\mu }}+{\frac {1}{\mu }}+{\frac {1}{\mu -1}}+\ldots +{\tfrac {1}{2}}+1\right\}\qquad$(6)

or, on a l’équation identique

${\frac {(2+\mu -1)}{1+\mu }}.1+{\frac {(2+\mu -2)}{\mu }}.{\tfrac {1}{2}}+{\frac {(2+\mu -3)}{\mu -1}}.{\tfrac {1}{3}}+\ldots$
$+{\frac {(2+\mu -\mu -1)}{1}}.{\frac {1}{1+\mu }}=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{1+\mu }},$

ou bien

$(2+\mu )\left\{{\frac {1}{1+\mu }}+{\frac {1}{\mu .2}}+{\frac {1}{(\mu -1).3}}+\ldots +{\frac {1}{2.\mu }}+{\frac {1}{1+\mu }}\right\}$
$-\left\{{\frac {1}{1+\mu }}+{\frac {1}{\mu }}+\ldots +{\tfrac {1}{2}}+1\right\}=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{1+\mu }}\,;$

d’où l’on tire

${\frac {1}{1+\mu }}+{\frac {1}{\mu .2}}+{\frac {1}{(\mu -1).3}}+\ldots +{\frac {1}{2.\mu }}+{\frac {1}{1+\mu }}=$
${\frac {2}{2+\mu }}\left\{{\frac {1}{1+\mu }}+{\frac {1}{\mu }}+\ldots +{\tfrac {1}{2}}+1\right\}\,;$

c’est-à-dire (6) qu’on a, lorsque $m=1,$

$\operatorname {M} '=\operatorname {M} +{\tfrac {1}{2}}\operatorname {L} +{\tfrac {1}{3}}\operatorname {K} +\ldots +{\frac {1}{\mu -1}}\operatorname {B} +{\frac {1}{\mu }}\operatorname {A} +{\frac {1}{\mu +1}}.\qquad$(7)

En général, si, pour le cas de $m,$ on a la relation (7), je dis que, pour le cas de $m+1,$ on aura

$\operatorname {M} ''=\operatorname {M'} +{\tfrac {1}{2}}\operatorname {L'} +{\tfrac {1}{3}}\operatorname {K'} +\ldots +{\frac {1}{\mu -1}}\operatorname {B'} +{\frac {1}{\mu }}\operatorname {A'} +{\frac {1}{\mu +1}}.\qquad$(8)

En effet, d’après l’hypothèse (7) et la relation générale (5), on aura