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SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On me permettra, avant de terminer, de présenter ici, sur l’application de la philosophie transcendentale, et en général des

$A',B',\ldots$ étant ce que deviennent $A,B,\ldots$ respectivement, quand on change $m$ en $m+1.$ Or, il est visible qu’on a les relations

$A'=A+m+1,\ B'=B+A'(m+2),\ C'=C+B'(m+3),\ldots ,$
$M'=M+L'(m+\mu )\,;$

d’où l’on conclut sur-le-champ

${\begin{aligned}M'&=M+L(m+\mu )+K(m+\mu -1)(m+\mu )+\ldots \\+&A(m+2)\ldots (m+\mu )+(m+1)\ldots (m+\mu ).\\\end{aligned}}\qquad (2)$

Je fais, pour abréger,

$\operatorname {A} ={\frac {A}{m+1}},\ \operatorname {B} ={\frac {B}{(m+1)(m+2)}},\ldots \,;$
$\operatorname {A'} ={\frac {A'}{m+2}},\ \operatorname {B'} ={\frac {B'}{(m+2)(m+3)}},\ldots \,;$

ce qui donne

$\Delta ^{m}\operatorname {F} x-\operatorname {A} \Delta ^{m+1}\operatorname {F} x+\operatorname {B} \Delta ^{m+2}\operatorname {F} x-\ldots =\Pi ,\qquad$(3)
$\Delta ^{m+1}\operatorname {F} x-\operatorname {A'} \Delta ^{m+2}\operatorname {F} x+\operatorname {B'} \Delta ^{m+3}\operatorname {F} x-\ldots =P,\qquad$(4)

et la relation générale (2) devient

$M'={\frac {m+1}{m+1+\mu }}\left\{\operatorname {M+L+K} +\ldots +\operatorname {B+A} +1\right\}\,:\qquad$(5)

Je fais ici $m=0\,;$ alors (1) $\operatorname {A,B,C} ,\ldots$ sont nuls et j’ai

$\operatorname {A'} ={\tfrac {1}{2}},\ \operatorname {B'} ={\tfrac {1}{3}},\ \operatorname {C'} ={\tfrac {1}{4}},\ldots \operatorname {M'} ={\tfrac {1}{1+\mu }}\,;$

ce qu’on sait déjà (1). Je fais ensuite $m=1,$ dans (5) ; et, d’après les valeurs de $\operatorname {A,B,C} \ldots$ relatives à $m=0,$ j’ai