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SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL.

petits ; et, parce qu’en général $a^{x}=1+x\operatorname {L} a,$ quand $x$ est infiniment petit, l’équation (3) deviendra

$a'''=\left\{1+(n-a)(n'-b)\operatorname {L} \Xi \right\}^{\frac {1}{(c-a)(c-b)}}-x\,;\qquad$(4)

expression qui, lorsqu’on suppose « la quantité arbitraire $x$ égale à zéro, pour plus de simplicité » (ibid. pag. 90) prend la forme

$a'''=\left\{1+N{\frac {1}{\infty _{1}.\infty _{2}}}\right\}^{M\infty '.\infty ''}.\qquad$(5)

Voilà, bien sérieusement, le résultat unique du rôle que l’on confie au calcul des gradules, pour lui assurer une entrée brillante dans le monde. Etait-ce bien la peine de le mettre en scène ? J’ose le demander.

J’ai fait remarquer qu’on dispose, dans (4), de l’arbitraire $x,$ en lui donnant la valeur zéro ; mais cette bypothèse réduit $\Xi$ à $A\,;$ par conséquent, dans le second membre de (5), il n’entre plus que le coefficient $A$ ; et la racine $a'''$ n’est plus exprimée que par un seul des coefficiens de l’équation. D’ailleurs cette hypothèse contrarie évidemment celle qu’on est oblige de faire plus bas (pag. 95), d’après laquelle les différentielles successives de $x,$ savoir $\operatorname {d} x,\operatorname {d} ^{2}x,\ldots ,$ doivent satisfaire à certaines conditions qui, soit dit en passant, auraient grand besoin elles-mêmes d’être conciliées entre elles. Quoi qu’il en soit, dato non concesso, que le second membre de (5) soit une fonction des coefficiens $A,B,\ldots \,;$ quelle est la conséquence qu’on prétend en tirer ? c’est que « la quantité $a'''$ est une quantité irrationnelle ou radicale de l’ordre 3-1 » (page 90) ou de la forme

$a'''=\varphi \left\{{\sqrt[{\beta }]{{\sqrt[{\alpha }]{n}}+n'}}+n''\right\},\qquad$(6)

$n',n',n''$ étant des fonctions des coefficiens $A,B,\ldots$