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DES NOMBRES.
Cette équation pourra ensuite être mise sous les trois formes suivantes
![{\displaystyle \mathrm {N} =b^{m}\left(\mathrm {A_{1}} +\mathrm {A_{2}} b^{m}+\mathrm {A_{3}} b^{2m}+\ldots \right)+A_{0}.\qquad \qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef66aaa301859cf21c17268b82a55376f5c852e7)
(1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} &=\left\{\mathrm {A_{1}} \left(b^{m}-1\right)+\mathrm {A_{2}} \left(b^{2m}-1\right)+\mathrm {A_{3}} \left(b^{3m}-1\right)+\ldots \right\}\\&+(\mathrm {A_{0}} +\mathrm {A_{1}} +\mathrm {A_{2}} +\mathrm {A_{3}} +\ldots )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2088d5e9254f59ca0ee321c9c92d971e94bbd7aa)
(2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} &=\left\{\mathrm {A_{1}} \left(b^{m}+1\right)+\mathrm {A_{2}} \left(b^{2m}-1\right)+\mathrm {A_{3}} \left(b^{3m}+1\right)+\ldots \right\}\\&+\left(\mathrm {A_{0}} +\mathrm {A_{2}} +\mathrm {A_{4}} +\ldots \right)-\left(\mathrm {A_{1}} +\mathrm {A_{3}} +\mathrm {A_{5}} +\ldots \right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd48383b4a6672f0d4815c22a2d40fa0092ecef)
(3)
En observant que les premières parties de ces diverses expressions de
sont respectivement divisibles par
et conséquemment par tous diviseurs de ces trois nombres, on pourra établir les propositions suivantes.
1.o Dans tout système de numération, le reste de la division d’un nombre quelconque par un diviseur quelconque de la m.me puissance de la base du système, est le même que celui qu’on obtient en divisant sa première tranche de
chiffres à droite par ce diviseur.
2.o Dans tout système de numération, le reste de la division d’un nombre quelconque par un diviseur quelconque du plus grand nombre de
chiffres est le même que celui qu’on obtient en divisant la somme de ses tranches de
chiffres par ce diviseur.
3.o Dans tout système de numération le reste de la division d’un nombre quelconque par l’un quelconque des diviseurs de la m.me puissance de la base augmentée d’une unité est le même que celui qu’on obtient en divisant par le même diviseur la somme des tranches de
chiffres de rangs impairs moins la somme des tranches de
chiffres de rangs pairs.
Afin donc que la première division réussisse, dans chaque cas,