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CORRESPONDANCE.

Extrait d’une lettre de M. Dubuat, professeur à
l’école royale de l’artillerie et du génie.

Je vous suis très-obligé, Monsieur, de la communication que vous avez bien voulu me faire des observations de M. Argand sur la solution que j’ai donnée du problème de dynamique proposé à la page 320 du 4.^me volume des Annales. Je conviens que cette solution n’est qu’un cas particulier, et que j’ai choisi la constante d’intégration telle que le problème soit susceptible d’une solution complète et finie. Voici la solution générale, qui suppose que la position d’un pendule simple à centre fixe est donnée en fonctions du temps.

Les coordonnées du point mobile de suspension étant $x',y'$ et celles du point entraîné $x,y,$ les équations différentielles de condition sont, en nommant $b$ la vitesse constante du point de suspension

$(x-x')(\operatorname {d} x'-\operatorname {d} x)+(y'-y)(\operatorname {d} y'-\operatorname {d} y)=0,\quad \operatorname {d} y'=0,\quad \operatorname {d} x'=b\operatorname {d} t.$

Il est facile d’en conclure les équations

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=\mu (x'-x),\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=\mu (y'-y)-g,$

qui sont celles du mouvement du pendule, sa longueur et sa masse étant prises pour unités, la gravité étant représentée par $g,$ et l’indéterminée $\mu$ étant la tension de sa verge. L’élimination de $\mu$ donne

$(y'-y){\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=(x'-x)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-g\right).$

Soit $x'-x=\operatorname {Sin} .\phi ,\ y'-y=\operatorname {Cos} .\phi \,;$ si l’on substitue ces valeurs dans ${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}},\ {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}},$ l’équation précédente deviendra à cause de ${\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} t}}=0$ et ${\frac {\operatorname {d} ^{2}x'}{\operatorname {d} t^{2}}}=0,$

${\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}}=-g\operatorname {Sin} .\phi ,$

dont l’intégrale est