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CORRESPONDANCE.

$\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=2g(C+\operatorname {Cos} .\phi ).$

La constante $C$ se détermine par la condition qu’à l’origine du mouvement le pendule est dans la situation verticale, ce qui donne $x'-x=0,$$\operatorname {Sin} .\phi =0,\ \operatorname {Cos} .\phi =1,$ et par conséquent ${\frac {\operatorname {d} x'-\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}=b-{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}.$ La vitesse angulaire ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}$ est donc, à l’origine du mouvement, égale à la vitesse donnée $b,$ moins la vitesse ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}$ du pendule suivant l’axe des $x\,;$ mais celle-ci étant nulle, ce qu’il est facile de prouver, par les équations de condition et par des raisonnemens analogues à ceux des pages 333 et 334 du IV.^me volume des Annales, il en résulte que la valeur de ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}},$ à l’origine du mouvement, se réduit à $b.$

Substituant cette valeur dans l’intégrale ci-dessus, et faisant $\operatorname {Cos} .\phi =1,$ on trouve $C={\frac {b^{2}}{2g}}-1,$ ce qui donne, pour l’équation différentielle entre $\phi$ et $t,$

$\operatorname {d} \phi =\operatorname {d} t{\sqrt {2g}}\left\{{\frac {b^{2}}{2g}}-1+\operatorname {Cos} .\phi \right\}^{\frac {1}{2}}\,;$

équation qui est aussi celle du mouvement d’un pendule simple à centre fixe, dont la longueur est 1, et dont la vitesse au point le plus bas est ${\frac {b^{2}}{2g}}.$

Cela posé, soit $\phi =\mathbf {F} (t)$ l’expression de la vitesse angulaire en fonction du temps ; on aura, à cause de $x'=bt$ et de $y'=1$

$x=bt-\operatorname {Sin} .[\mathbf {F} (t)],\qquad y=1-\operatorname {Cos} .[\mathbf {F} (t)].$

Telle est la solution générale ; voici présentement quelques cas particuliers. 1.^o Si $b=0$ le radical ${\sqrt {{\frac {b^{2}}{2g}}-1+\operatorname {Cos} .\phi }}$ est imaginaire ; il n’y a donc pas de vitesse angulaire, et le pendule reste en repos. Mais si $b,$ sans être nul, est très-petite par rapport à $g,$ le cosinus