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PROBLÈMES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Les lettres $a,b,c,d$ désignent ici des quantités qu’on peut immédiatement déduire des deux observations qui suffisent à la solution du problème, dont les inconnues sont représentées par les lettres $\mu ,\varkappa ,\psi ,n.$ La première $\mu$ est l’angle qui détermine l’excentricité de l’orbite. Les angles $\varkappa$ et $\psi$ sont, l’un la demi-somme et l’autre la demi-différence des anomalies excentriques de l’orbite, qui répondent aux époques des deux observations. Enfin $n$ est une fraction ayant pour numérateur le demi-grand axe de l’orbite de la terre, et pour dénominateur celui de l’orbite de l’astre. Cette fraction $n$ est positive dans le cas de l’ellipse, négative dans le cas de l’hyperbole, et nulle dans le cas de la parabole. Dans les deux derniers cas, nos quatre équations générales doivent subir quelques modifications dont nous parlerons plus loin.

116. La troisième de ces équations ne renferme que trois des quatre inconnues du problème, mais les trois autres les comprennent toutes les quatre. Il se présente toutefois un artifice assez simple, pour remplacer les quatre équations par deux autres qui, sans être plus compliquées, ne renferment que deux des quatre inconnues, savoir : l’angle $\psi$ et le facteur $n.$ Nous poserons d’abord pour cela

$a^{2}+c^{2}=f^{2},\qquad b^{2}+a^{2}c^{2}+c^{4}=b^{2}+c^{2}f^{2}=h^{2}.$

117. Ajoutant alors ensemble les quarrés des deux membres des première et troisième équations, on aura

$n^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right)$ ou $n^{2}{\mathcal {f}}^{2}=\operatorname {Sin} .^{2}\psi \left(1-\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{2}\varkappa \right)\,;$

donc

$\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{2}\varkappa \operatorname {Sin} .^{2}\psi =\operatorname {Sin} .^{2}\psi -n^{2}{\mathcal {f}}^{2}\,;$

mais, la quatrième équation donne, en transposant et quarrant,

$\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{2}\varkappa \operatorname {Sin} .^{2}\psi =\left(nd{\sqrt {n}}-\psi \right)^{2}\,;$

donc

$nd{\sqrt {n}}=\psi +{\sqrt {\operatorname {Sin} .^{2}\varkappa +n^{2}{\mathcal {f}}^{2}}}.$

118. Si ensuite nous multiplions l’équation