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PROBLÈMES

119. Cette dernière équation nous apprend à trouver l’une des deux inconnues $n$ et $\psi ,$ lorsqu’on connaît l’autre, ou lorsqu’on lui suppose une valeur quelconque. Supposons d’abord $n$ connue, et posons, pour abréger,

$4c^{2}-4nch+n^{2}b^{2}=R^{2}\,;$

nous en déduirons

$\operatorname {Cos} .\psi ={\frac {nb-R}{2c}},\qquad \operatorname {Sin} .^{2}\psi ={\frac {2nch-n^{2}b^{2}+nbR}{2c^{2}}},$

$\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ={\frac {nb+R}{2c}},\qquad \operatorname {Sin} .^{2}\mu ={\frac {2nch-n^{2}b^{2}-nbR}{2{\mathcal {f}}^{2}}}.$

On aura ensuite, en supposant le rayon de l’orbite terrestre égal à l’unité.

Distance périhélie $={\frac {1-\operatorname {Sin} .\mu }{n}}.$

Distance aphélie$\quad ={\frac {1+\operatorname {Sin} .\mu }{n}}.$

120. Le cas de la parabole est celui de $n=0,$ ce qui donne la distance périhélie égale à ${\frac {c(h-b)}{2{\mathcal {f}}^{2}}}.$ Dans celui de l’hyperbole, $n$ devient négatif, ce qui donne à $\operatorname {Cos} .\mu$ une valeur imaginaire ; $\operatorname {Sin} .\mu$ est alors une quantité très-réelle, mais plus grande que l’unité ; la distance périhélie gardera donc la valeur positive que nous lui supposons dans l’ellipse ; mais la distance aphélie deviendra négative.

121. Si les observations sont assez rapprochées pour que l’angle $\psi ,$ demi-différence des anomalies excentriques, puisse être confondu avec son sinus, sans erreur sensible, la quatrième de nos équations (115) deviendra

$nd{\sqrt {n}}=\operatorname {Sin} .\psi \left(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \right)\,;$

ce qui donne, en substituant à $\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi$ la valeur équivalente (119) ${\frac {nb+R}{2c}},$ l’équation