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D’ASTRONOMIE

$2.ncd{\sqrt {n}}=(2c+nb+R)\operatorname {Sin} .\psi \,;$

et ensuite, en quarrant et mettant (119) pour $\operatorname {Sin} .^{2}\psi$ sa valeur

$8n^{2}c^{4}d^{2}=\left(2ch-nb^{2}+bR\right)(2c+nb+R)^{2}.$

Le quarré de $2c+nb+R$ devient, en développant

$8c^{2}+4nc(b-h)+2n^{2}b^{2}+2(2c+nb)R\,;$

multipliant cette expression par $2ch=nb^{2}+bR,$ il viendra

$2\left(8c^{3}-4nc^{2}h+4c^{2}R\right)(b+h)\,;$

on aura donc l’équation

$2\left(8c^{3}-4nc^{2}h+4c^{2}R\right)(b+h)=8n^{2}c^{4}d^{2}$

ou

$(2c-nh+R)(b+h)=n^{2}c^{2}d^{2}$

d’où

$R={\frac {n^{2}c^{2}d^{2}}{b+h}}-2c+nh$

élevant au quarré de part et d’autre, il viendra

$4c^{2}-4nch+n^{2}b^{2}={\frac {n^{4}c^{4}d^{4}}{(b+h)^{2}}}-{\frac {2(2c-nh)n^{2}c^{2}d^{2}}{b+h}}+(2c-nh)^{2}$

ou, en réduisant,

$b^{2}={\frac {c^{4}d^{4}n^{2}}{(b+h)^{2}}}-{\frac {2c^{2}d^{2}(2c-nh)}{b+h}}+h^{2},$

d’où

${\frac {n^{2}c^{2}d^{2}}{b+h}}=-h+{\sqrt {b^{2}+{\frac {4c^{3}d^{2}}{b+h}}}},$

$n$ est donc déterminée, et conséquemment le problème est résolu.

122. Si le second terme ${\frac {4c^{3}d^{2}}{b+h}}$ est assez petit pour que son quarré puisse être négligé devant le premier terme $b^{2},$ le radical deviendra