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PROBLÈMES.
![{\displaystyle {\begin{aligned}n\ c=&\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi ,\\d{\sqrt {n^{3}}}=&\operatorname {Sin} .\psi (1+\mu \operatorname {Cos} .\phi )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28629d9d3037ab9b236a2932ed8dc779ce119719)
Il sera très-facile, dans cette supposition, d’exprimer les angles
en
de la manière suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sin} .^{2}\phi =&{\frac {na^{3}b(2c-nb)}{a^{3}c+(nb-c)^{2}c^{2}}},\\\operatorname {Sin} .^{2}\psi =&{\frac {nc^{2}(a^{2}+c^{2})}{b(2c-nb)}},\\\operatorname {Sin} .^{2}\mu =&{\frac {nb(2c-nb)}{a^{2}+c^{2}}}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98d9fa7b7136c209935be13794fe75e76ad0b251)
et substituant, on aura pour
qui forme la principale inconnue du problème, l’expression très-simple qui suit :
![{\displaystyle n={\frac {2cd^{2}-\left(a^{2}+c^{2}\right)b}{bd^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c1069d623d8d5c69e714a0257f6ce3e3db38b0)
103. Cette expression nous fait connaître, sur-le-champ, les trois cas de l’ellipse, de la parabole et de l’hyperbole. Tant qu’on aura
le grand axe de l’orbite, sera positif, ce qui indique l’ellipse. Dans le cas opposé, de
l’axe, devenu négatif indiquera l’hyperbole. On reconnaîtra la parabole à ce qu’on aura alors
Le cercle se reconnaîtra sur-le-champ à l’égalité des trois rayons vecteurs, qui sont proportionnels aux radicaux
ou bien
On aura, dans ce dernier cas,
et
; ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}b=&\operatorname {Sin} .\psi \operatorname {Cos} .\psi ),\\n\ c=&\operatorname {Sin} .\psi ,\\d{\sqrt {n^{3}}}=&\operatorname {Sin} .\psi \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2057acc318a876519d59a4be515596dcf466e2)
ce qui fournira, entre les trois quantités
l’équation de condition ![{\displaystyle d^{4}=(b^{2}+c^{2})c^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c740bbefde942e254562d854756da25253133a)