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D’ASTRONOMIE.

104. Substituant, dans les expressions littérales de $\mu ,\phi ,\psi ,$ la valeur de $n$ qu’on vient de trouver, et posant, pour abréger, $a^{2}+c^{2}=f^{2},$ on aura les formules qui suivent :

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .\mu ={\frac {\sqrt {d^{4}-2bcd^{2}+b^{2}f^{2}}}{d^{2}}}\ \ ,&\qquad \operatorname {Cos} .\mu ={\frac {\sqrt {2bcd^{2}-b^{2}f^{2}}}{d^{2}}},\\\\\operatorname {Sin} .\phi ={\frac {a{\sqrt {2bcd^{2}-b^{2}f^{2}}}}{c{\sqrt {d^{4}-2bcd^{2}+b^{2}f^{2}}}}}\,;&\qquad \operatorname {Cos} .\phi ={\frac {cd^{2}-bf^{2}}{c{\sqrt {d^{4}-2bcd^{2}+b^{2}f^{2}}}}}\,;\end{aligned}}$

$\operatorname {Sin} .\psi ={\frac {a{\sqrt {2bcd^{2}-b^{2}f^{2}}}}{b^{2}}}.$

105. Ayant ainsi trouvé les anomalies excentriques $\varkappa ,\varkappa '$ moyennant $\varkappa '=\phi +\psi$ et $\varkappa =\phi -\psi ,$ on passera aux anomalies vraies $\phi$ et $\phi ',$ moyennant les équations connues

$\operatorname {Sin} .\phi ={\frac {\operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Sin} .\mu }{1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa }},\qquad \operatorname {Cos} .\phi ={\frac {\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu }{1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa }},$

et par conséquent

$\mathrm {\operatorname {Tang} } .\phi ={\frac {\operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Sin} .\mu }{\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu }},$

ou bien

$\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\phi =\operatorname {Tang} .\left(45^{\circ }-{\tfrac {1}{2}}\mu \right)\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\varkappa .$

106. Connaissant l’anomalie vraie $\phi ,$ on aura, pour déterminer l’angle $\varepsilon$ que fait la ligne des apsides avec celle des nœuds, les équations suivantes, parmi lesquelles on peut choisir,

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(\varepsilon +\phi )=&{\frac {P\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa }}={\frac {P\operatorname {Cos} .\phi }{\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu }},\\\operatorname {Sin} .(\varepsilon +\phi )=&{\frac {Q\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa }}={\frac {Q\operatorname {Cos} .\phi }{\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu }}.\\\end{aligned}}$

107. Reste donc à déterminer le seul angle $\eta$ qui fixe l’instant du passage par le périhélie, et qui sera la seule inconnue de l’une quelconque des trois équations