Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/247

241

ALGÉBRIQUE.

${\begin{aligned}\Lambda 1=+0,57721566490,&\qquad \ \lambda _{8}=-0,0000576677.,\\\lambda _{1}=+0,64493406685,&\qquad \ \lambda _{9}=+0,0000121980.,\\\lambda _{2}=+0,05712283631,&\qquad \lambda _{10}=+0,000003454..,\\\lambda _{3}=-0,01018983909,&\qquad \lambda _{11}=-0,000006295..,\\\lambda _{4}=+0,00119469664,&\qquad \lambda _{12}=+0,000004948..,\\\lambda _{5}=+0,0002778979.,&\qquad \lambda _{13}=-0,000002950..,\\\lambda _{6}=-0,0003037026.,&\qquad \lambda _{14}=+0,00000141...,\\\lambda _{7}=+0,0001565295.,&\qquad \lambda _{15}=-0,00000047...,\\\end{aligned}}$

Faisons $\lambda _{\varepsilon }=(-1)^{\varepsilon }\mu _{\varepsilon },$ ce qui revient à changer les signes des $\lambda$ indices impairs ; nous aurons, par les formules (F),

$\mu _{\varepsilon }={\frac {1}{\varepsilon }}-\left\{S_{2}-{\frac {\varepsilon -1}{1}}S_{3}+{\frac {\varepsilon -1}{1}}.{\frac {\varepsilon -2}{2}}S_{4}-{\frac {\varepsilon -1}{1}}.{\frac {\varepsilon -2}{2}}.{\frac {\varepsilon -3}{3}}.S_{5}+\ldots \right\}.$

Or, la série entre les accolades est toujours positive ; car, en la désignant par $U_{\varepsilon },$ et en développant les $S$ pour lesquels on peut prendre les $T$ (n.^o 3), on aura

${\begin{array}{rllll}U_{\varepsilon +1}&={\frac {1}{4}}&+{\frac {1}{9}}&+{\frac {1}{16}}&+\ldots \\&-{\frac {\varepsilon }{8}}&-{\frac {\varepsilon }{27}}&-{\frac {\varepsilon }{64}}&-\ldots \\&+{\frac {\varepsilon }{1}}.{\frac {\varepsilon -1}{2}}.{\frac {1}{16}}&+{\frac {\varepsilon }{1}}.{\frac {\varepsilon -1}{2}}.{\frac {1}{81}}&+{\frac {\varepsilon }{1}}.{\frac {\varepsilon -1}{2}}.{\frac {1}{243}}&+\ldots \\&\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\end{array}}$

et, en sommant verticalement

$U_{\varepsilon +1}={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\varepsilon }+{\frac {1}{9}}\left({\frac {2}{3}}\right)^{\varepsilon }+{\frac {1}{16}}\left({\frac {3}{4}}\right)^{\varepsilon }+\ldots \qquad$(I)

On voit que les valeurs de $U_{\varepsilon }$ vont toujours en diminuant, et on peut même déterminer un indice $\varepsilon +1$ tel que $U_{\varepsilon +1}$ soit plus