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ANALISE

tificatif en faveur de l’algèbre qui, à cet égard, se trouve en quelque sorte in reatu.

13. Nous rapporterons ici, par occasion, des formules analogues à celles de la page 118 (Annales, tom. 3)

${\tfrac {1}{2}}{\frac {e^{y}-e^{-y}}{e^{y}-2\operatorname {Cos} .a+e^{-y}}}={\frac {y}{y^{2}+a^{2}}}+B_{2}y+B_{4}{\frac {y^{3}-3a^{2}y}{1.2.3}}$

$+B_{6}{\frac {y^{5}-10a^{2}y^{3}+5a^{4}y}{1.2.3.4.5}}+\ldots$ (Q)

${\frac {\operatorname {Sin} .a}{e^{y}-2\operatorname {Cos} .a+e^{-y}}}={\frac {a}{y^{2}+a^{2}}}-B_{2}a+B_{4}{\frac {a^{3}-3ay^{2}}{1.2.3}}$

$-B_{6}{\frac {a^{5}-10a^{3}y^{2}+5ay^{4}}{1.2.3.4.5}}+\ldots$ (R)

${\tfrac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Sin} .y}{\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .a}}={\frac {y}{a^{2}-y^{2}}}+B_{2}y-B_{4}{\frac {y^{3}+3a^{2}y}{1.2.3}}$

$+B_{6}{\frac {y^{5}+10a^{2}y^{3}+5a^{4}y}{1.2.3.4.5}}-\ldots$ (S)

En faisant $a=0,$ dans (Q), on a la secondée des séries de la page 118, dont les autres sont tirées. Nous démontrerons ces formules comme il suit.

En faisant $\Delta x=1,$ on a

$\Delta \left(e^{nx}\operatorname {Sin} .ax\right)=e^{nx}\left\{\left(e^{n}\operatorname {Cos} .a-1\right)\operatorname {Sin} .ax+e^{n}\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .ax\right\},$

$\Delta \left(e^{nx}\operatorname {Cos} .ax\right)=e^{nx}\left\{\left(e^{n}\operatorname {Cos} .a-1\right)\operatorname {Cos} .ax-e^{n}\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .ax\right\},$

d’où on conclut qu’on peut supposer

$\Sigma \left(e^{nx}\operatorname {Sin} .ax\right)=e^{nx}\left(A\operatorname {Sin} .ax+B\operatorname {Cos} .ax\right),$

$\Sigma \left(e^{nx}\operatorname {Cos} .ax\right)=e^{nx}\left(C\operatorname {Cos} .ax+D\operatorname {Sin} .ax\right)\,;$

$A,B,C,D$ étant des constantes.

En effet, différenciant et comparant aux valeurs précédentes ; on trouve

$A=C={\frac {e^{n}\operatorname {Cos} .a-1}{e^{2n}-2e^{n}\operatorname {Cos} .a+1}},\quad B=D={\frac {e^{n}\operatorname {Sin} .a}{e^{2n}-2e^{n}\operatorname {Cos} .a+1}}.$ (T)

D’un autre côté, si l’on applique à $e^{nx}\operatorname {Sin} .ax$ et $e^{nx}\operatorname {Cos} .ax,$ (ou seulement à la première de ces deux fonctions, car elles conduisent toutes deux au même résultat) la formule d’intégration

$\Sigma z={\frac {1}{x}}z-{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}z}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots$

$-{\frac {z}{x}}+{\frac {B_{2}}{1}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+{\frac {B_{4}}{1.2.3}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}z}{\operatorname {d} x^{3}}}+{\frac {B_{6}}{1.2.3.4.5}}{\frac {\operatorname {d} ^{5}z}{\operatorname {d} x^{5}}}+\ldots$

on obtient un résultat de la forme