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RÉFLEXIONS

qu’à Londres le symbole $x!$ ne représente la même chose qu’à Paris que pour les valeurs entières et positives de $x$.

En posant $x!=y_{x},$ il viendra

$y_{x+1}=y_{x}.(x+1),$

d’où

$y_{x+1}-y_{x}\qquad$ou$\qquad \mathrm {\Delta y} =xy,$

équation qui peut être admise comme équation générale de définition ; je dis générale ; car, à raison du complément variable et périodique que comporte son intégrale, elle comprend implicitement une infinité de définitions différentes.

V. Supposons présentement qu’on ait une certaine fonction de $x$, dont la forme primitive soit telle qu’on ne puisse en assigner immédiatement la valeur que par rapport à certaines suppositions faites pour la variable, la supposition de $x$ entier et positif par exemple ; et supposons de plus qu’on n’ait pu encore parvenir à la mettre sous une forme qui en permette l’évaluation quel que soit $x,$ faudra-t-il en conclure que cette fonction n’est point interpolable ? qu’elle est essentiellement discontinue, je ne saurai le penser. Il est d’abord très-probable qu’au temps de Viète on aurait été fort tenté de porter le même jugement de la fonction $a^{x}\,;$ et qu’on en aurait dit autant de la fonction désignée par $x!$ par M. Kramp, avant que Vandermonde s’en fût occupé. D’ailleurs, dire qu’une fonction évaluable dans une infinité de circonstances ne l’est point néanmoins dans toutes, ne reviendrait-il pas à dire que, par une infinité de points donnés sur un plan, et s’y succédant suivant une loi uniforme, il est impossible de concevoir une seule courbe continue, et, loin que cette assertion paraisse soutenable, ne semble-t-il pas, au contraire, que des points donnés, même en nombre infini, peuvent toujours être conçus liés par une infinité de courbes différentes ? et n’en résulte-t-il pas inévitablement que, soit qu’on sache ou qu’on ne sache pas interpoler une fonction,