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PROBLÈMES

Il paraît convenable de faire encore, pour abréger, $\mathrm {r} =1-xy,$ il en résulte

${\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \lambda }}=-{\frac {x\operatorname {d} y+y\operatorname {d} x}{\operatorname {d} \lambda }}=-uy-hvx\,;$

on a alors

$h={\frac {pu^{2}v(1+r)}{pu^{3}-qr^{2}}}\,;$

ce qui donne

$-{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {pr(2x+y-xy)-quvr^{2}}{pu^{3}-qr^{2}}}.$

148. Si, d’après le but du problème, on désigne par $t$ le temps au bout duquel il arrive une syzygie, on aura

$t=A+B\lambda +C\lambda ^{2}+\ldots \,;$

et les coefficiens $A,B,C,\ldots$ formeront les inconnues du problème. Le premier terme $A$ est ce que devient $t$ dans le cas de $\lambda =0,$ lequel fournit

${\frac {2\varpi t}{p}}=\varkappa =\phi =\alpha -n\varpi +{\frac {2\varpi t}{q}}\,;$

d’où l’on tire

$t={\frac {pq(n\varkappa -\alpha )}{2\varpi (p-q)}}\,;$

et telle est la valeur du premier terme de la série. On aura donc

$A={\frac {pq(n\varpi -\alpha )}{2\varpi (p-q)}}.$

149. Le coefficient $B$ est ce que devient le rapport différentiel ${\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \lambda }},$ dans le même cas de $\lambda =0,$ qui est celui de $x=0,u=1,$ $\mathrm {\phi } ={\frac {q(n\varpi -\alpha )}{p-q}}={\frac {2\varpi A}{p}}\,;$ d’où $y=\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi A}{p}},\ v=\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi A}{p}}.$ Il en résultera