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D’ASTRONOMIE.

$B=-{\frac {2pq}{2\varpi (p-q)}}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi A}{p}},$

en sorte que le second terme de la série est

$-{\frac {pq\lambda }{\varpi (p-q)}}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi A}{p}}.$

150. Il faudra passer de là aux rapports différentiels ${\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} \lambda ^{2}}},\ {\frac {\operatorname {d} ^{3}t}{\operatorname {d} \lambda ^{3}}},\ {\frac {\operatorname {d} ^{4}t}{\operatorname {d} \lambda ^{4}}},\ldots$ On peut remarquer que tous les termes dont ces rapports sont composés sont compris sous la forme

${\frac {u^{m}.r^{\varepsilon }.v.s}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{n}}}\,;$

la lettre $s$ désignant une fonction rationnelle et entière de $x$ et $y$ ; tellement que $\operatorname {d} s=M\operatorname {d} x+N\operatorname {d} y,$ tandis que $\operatorname {d} r=-y\operatorname {d} x-x\operatorname {d} y.$ Le problème est donc réduit à trouver la différentielle de la fonction fractionnaire

$z={\frac {u^{m}.r^{\varepsilon }.v.s}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{n}}}.$

151. On en tire

$\operatorname {Log} .z=m\operatorname {Log} .u+\varepsilon \operatorname {Log} .r+\operatorname {Log} .v+\operatorname {Log} .s-n\operatorname {Log} .\left(pu^{3}-qr^{2}\right)\,;$

donc

${\frac {\operatorname {d} z}{z}}={\frac {m\operatorname {d} u}{u}}+{\frac {\varepsilon \operatorname {d} r}{r}}+{\frac {\operatorname {d} v}{v}}+{\frac {M\operatorname {d} x+N\operatorname {d} y}{s}}-{\frac {n\left(3pu^{2}\operatorname {d} u-2qr\operatorname {d} r\right)}{pu^{3}-qr^{2}}}\,;$

ou, en divisant par $\operatorname {d} \lambda$

${\frac {\operatorname {d} z}{z\operatorname {d} \lambda }}=-{\frac {mx}{u}}-{\frac {\varepsilon uy}{r}}-{\frac {hy}{v}}+{\frac {Mu+Nhv}{s}}+{\frac {3npu^{2}x}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)}}-{\frac {2nqr(uy+hvx)}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)}},$

multipliant enfin de part et d’autre par $urvs\left(pu^{3}-qr^{2}\right)$

${\begin{aligned}urv\left(pu^{3}-qr^{2}\right){\frac {\operatorname {d} z}{z\operatorname {d} \lambda }}=&-mrvxs\left(pu^{3}-qr^{2}\right)-pu^{3}vry(1+r)s\\&-\varepsilon vu^{3}ys\left(pu^{3}-qr^{2}\right)-\varepsilon pu^{3}v^{3}x(1+r)s\\\end{aligned}}$