Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/298

292

MULTIPLICITÉ

$\mathrm {L} ,$ dans un même plan perpendiculaire au tableau. L’image $\mathrm {I_{0}}$ sera peu sensible ; l’image $\mathrm {I_{1}}$ sera la plus apparente, et les suivantes $\mathrm {I_{2},I_{3},I_{4}} ,\ldots$ décroîtront progressivement d’intensité, jusqu’à ce qu’enfin elles deviennent tout à fait insensibles.

On peut désirer de connaître la courbe sur laquelle se trouvent toutes ces images, pour une situation donnée de l’œil $\mathrm {O}$ du spectateur ; voici à quoi se réduit cette recherche. L’équation (3) donne, en différenciant

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-{\sqrt[{3}]{\frac {p^{2}y}{q^{2}x}}},$

d’où il suit que l’équation de la tangente par un point $\mathrm {I_{n}}$ dont les coordonnées sont $x',y',$ est

$y-y'=-(x-x'){\sqrt[{3}]{\frac {p^{2}y'}{q^{2}x'}}}\,;$

si l’on veut que cette tangente passe par le point $\mathrm {O} ,$ en désignant par $\alpha ,\beta$ les deux coordonnées de ce point, l’équation de la tangente deviendra, en supprimant les accents

$y-\beta =-(x-\alpha ){\sqrt[{3}]{\frac {p^{2}y}{q^{2}x}}},$

ou

$(y-\beta ){\sqrt[{3}]{q^{2}x}}+(x-\alpha ){\sqrt[{3}]{p^{2}y}}=0,$

ou enfin

$q^{2}x(y-\beta )^{3}+p^{2}y(x-\alpha )^{3}=0\,;$

$x$ et $y$ étant les coordonnées du point de contact. Il faudrait donc, pour obtenir l’équation de la courbe cherchée, éliminer $n$ de celle-ci, au moyen de l’équation (III) ; mais, puisque $n$ n’y entre pas, il faut en conclure qu’elle est elle-même l’équation de cette courbe.