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QUESTIONS RÉSOLUES.

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution des deux problèmes de géométrie proposés à
la page 32 de ce volume ;

Par M. J. B. Durrande.

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Lemme. Dans un quadrilatère, qui a deux angles droits opposés l’un à l’autre, un angle oblique et les deux côtés adjacens étant donnés, déterminer les deux autres côtés, ainsi que la diagonale qui joint les sommets des deux angles obliques ?

Solution. Soient $\theta$ l’angle oblique donné, $g,h,$ les deux côtés qui le comprennent, $y$ et $x$ les côtés respectivement opposés, et $z$ la diagonale qui joint les sommets des angles obliques.

$g$ est la somme des projections de $h$ et $y$ sur sa direction ; et $h$ est pareillement la somme des projections de $g$ et $x$ sur sa direction ; d’où il résulte qu’on doit avoir

$g=h\operatorname {Cos} .\theta +y\operatorname {Sin} .\theta ,\qquad h=g\operatorname {Cos} .\theta +x\operatorname {Sin} .\theta \,;$

c’est-à-dire,

$y={\frac {g-h\operatorname {Cos} .\theta }{\operatorname {Sin} .\theta }},\qquad x={\frac {h-g\operatorname {Cos} .\theta }{\operatorname {Sin} .\theta }}\,;$

mais on a de plus

$z={\sqrt {g^{2}+x^{2}}}={\sqrt {h^{2}+y^{2}}}\,;$

donc, en substituant,

$z={\frac {\sqrt {g^{2}-2gh\operatorname {Cos} .\theta +h^{2}}}{\operatorname {Sin} .\theta }}.$