PROBLÈME I. Trois cercles, tracés sur un même plan ; étant tels que chacun d’eux touche les deux autres ; trouver, en fonction de leurs rayons, 1.o le rayon du cercle qui passe par leurs points de contact deux à deux ; 2.o le rayon du cercle qui passe par leurs centres ?
Solution. Soient les centres et les rayons respectifs des trois cercles dont il s’agit. Le triangle pourra être quelconque, puisqu’il se trouve dépendre de trois élémens arbitraires et indépendans.
Le cercle inscrit à ce triangle a, par la propriété des tangentes partant d’un même point, ses points de contact avec les côtés tellement situés que chaque sommet est également distant des points de contact avec les côtés qui concourent à ce sommet ; d’où il suit que ces points sont aussi les points de contact des cercles deux a deux. Ainsi, le cercle qui passe par les points de contact des cercles donnés deux à deux n’est autre chose que le cercle inscrit au triangle Quant au cercle qui contient leurs centres, c’est évidemment le cercle circonscrit au même triangle.
La question proposée se trouve donc ramenée à déterminer, en fonction de les rayons des cercles inscrit et circonscrit au triangle soient leurs centres respectifs, leurs rayons.
Par les formules connues, on a
mais, on a d’ailleurs
donc, en substituant
et de là
